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Il teorema del numero precedente, applicato allo spazio di sfere, per- 

 mette senz'altro di affermare che, inversamente, la configurazione dello 

 Stephanos è la sola composta di x cerchi (tre qualunque dei quali non 

 passino per i medesimi due punti) e di y sfere, tali che: 



1) su ognuna delle sfere stiano n dei cerchi, e per ognuno dei 

 cerchi passino k delle sfere ; 



2) ogni sfera che passi per due dei cerchi appartenga alla confi- 

 gurazione, epperò contenga altri n — 2 cerchi di questa; 



3) se uno dei cerchi e una delle sfere non si appartengono, il 

 cerchio incontri la sfera in due punti situati sopra uno degli n cerchi 

 esistenti su essa. 



Neil' identità che questa configurazione presenta con quella del n. 1 e 

 con quella formata dalle 15 rette d'una superficie oubica estranee ad una 

 bissestupla e dui 15 piani che le contengono a tre a tre, i sei sistemi di 

 cinque cerchi ciascuno, che lo Stephanos ha chiamati pentacicli, corrispon- 

 dono alle sei quintuple di piani associati considerate dal Segre e dal 

 Castelnuovo ('), ed ai sei sistemi di cinque rette sghembe che si possono 

 formare con le 15 rette nominate di una superfìcie cubica. Si può così ve- 

 rificare, ad esempio, la elegante costruzione che lo Stephanos ha assegnata 

 per il peutacido determinato da quattro cerchi dati ('); ecc. 



(') Nella prima delle due Note dello Stephanos trovasi già, senza dimostrazione, il 

 teorema relativo ai sistemi di cinque piani associati dell' S*, che fu poi stabilito, indi- 

 pendentemente così da quell'autore come l'uno dall'altro, dal Segre e dal Castelnuovo 

 nei citati lavori, e dal Segre anche nella Nota: Alcune considerazioni elementari sulla 

 incidenza di rette e piani nello spazio a quattro dimensioni, Rend. del Circolo mat. di 

 Palermo, t. II fi 888), pag. 45. 



( 2 J Questa costruzione si fonda sull'osservazione, dovuta al sig. Darboux [_Sur une 

 nouvelle défìnition de la surface des ondes, Comptes rendus de l'Acad. des sciences de 

 Paris, t. XCII (1881), pag. 4463 • Cne » dati nello spazio tre cerchi A , B , C , esiste ge» 

 neralmeiite un cerchio K, ed uno solo, appoggiato in due punti a ciascuno di essi. Chia- 

 mando, col Darboux, centro radicale di due cerchi dello spazio il centro radicale di 

 tutte le sfere passanti per i due cerchi, il piano di K è quello ehe contiene i tre centri 

 radicali dei cerclii A , B , C presi a due a due. Il cerchio K è quindi indeterminato quando 

 e soltanto quando i tre detti centri radicali coincidono, ossia quando e soltanto quando 

 i tre dati cerchi sono ortogonali ad una medesima sfera. 



Ora ricordiamo la costruzione data dal Segre e dal Castelnuovo per dedurre da 

 quattro piani generici a , p , y , d di Si il piano e ad essi associato. Si costruiscono 1 

 quattro piani a',p' ,y',d' che secano in rette ordinatamente i piani delle terne Pyd, 

 ayd, apd, a p y , e allora i quattro punti ««' , pp' , yy , dd' giacciono in un piano, che 

 è appunto e. In virtù di quanto precede, la proprietà di qui risultante per il cerchio E, 

 clic completa il pentaciclo determinato da quattro dati cerchi À,B,C,D, è dunque la 

 seguente. Si considerano i quattro nuovi cerchi A' , B' , C , D' che incontrano in due punti 

 risp. i cerchi delle quattro terne BCD, ACD, ABD, ABC, ed allora esiste un cer- 

 chio E tale che i cerclii di ciascuna delle terne AA'E , BB'E , CC'E , DD'E hanno lo 

 stesso centro radicale. Questa proprietà trovasi enunciata nella seconda Nota dello 

 Stephanos. 



