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Le eleganti forinole stabilite da Levi-Civita si prestano assai bene, e 

 nel modo più spontaneo, alla risoluzione del problema elettrostatico che è 

 titolo e oggetto della presente Nota. 



La configurazione geometrica dell'anello si può immaginare determinata 

 dal movimento di una sezione trasversale piana x. la quale pur variando 

 (in modo continuo e mantenendosi piana) si conserva normale alla linea 

 chiusa / descritta da un suo punto generico (p. es. il baricentro); la linea / 

 definisce l'andamento longitudinale dell'anello. 



La qualifica sottile sta a significare che le dimensioni di r sono ovunque 

 piccole di fronte alle dimensioni longitudinali (con che si intende non solo 

 rispetto alla lunghezza di l, ma anche rispetto al raggio di curvatura in un 

 suo punto generico); p. es. se x è un cerchio di raggio costante a e la 

 direttrice l è una circonferenza di raggio b, l'anello è un toro circolare, 

 sottile se a è piccolo di fronte a b . 



Ciò premesso, sieno: e la quantità di elettricità in equilibrio sull'anello 

 conduttore, supposto isolato; v ds la quantità di elettricità contenuta sopra 

 un pezzo, della superficie a dell'anello, compresa tra due sezioni trasversali 

 piane r e x' che limitano- una fetta di spessore ds del conduttore. Allora 

 v — densità elettrica corrispondente alla sezione x dell'anello — rimane 

 definita dalla seguente forinola 



dove 



k — -r \ dx f oV log 



X Jt Jx 



PPc 



denotando l la lunghezza della direttrice designata finora colla stessa let- 

 tera, P e P due generici punti di r, dx e dr due elementi di x ad essi 

 attigui. La quantità k è un puro numero, che dipende, per un assegnato 

 anello, soltanto dalla sezione x cui si riferisce; essa è, in generale, varia- 

 bile da sezione a sezione, cioè è funzione dell'arco s della direttrice l, con- 

 tato a partire da un'origine arbitraria. In particolare, se si tratta di sezioni 

 circolari di raggio a, è 



La forinola (I) mette in rilievo che la densità elettrica v è indipendente 

 dai caratteri geometrici della direttrice. Influiscono invece questi sulla ri- 

 sultante delle forze elettriche di una generica sezione x : detto il punto 



( l ) Cfr. Levi-Civita, Sulla gravitazione ecc., loc. cit., pag. 362. 



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