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Ponendo, allora, quando E sia il simbolo di valore medio, 



(1 3) B(X n ) = M n , E(X n - M n y = <r,, n , E(X„ - M n )< = a 4 , n , 

 è noto come si deduca: 



*> IA«> J = = M (n> , 



(14) / E [X w - M (H) ]« = ^ + ~+ b = gMa 



e [x m - u w y = ~ f y (x,, + 3 y f; * v ■ * M 1 . 



Li=i r=i *=i _J 



essendo, nell'ultima espressione, r =J= s . 

 L'ultima delle (14), quando si ponga 



a *,i > y^t,r.^t, s 



r3 s=i 



(15) ' » ~^' <M) ' ~ n(n~l) ~ = ^ w ' 



2 



può anche scriversi: 



(16) E [X (n) - M (n) ]< = + 3 (l - -V . 



\ nj n* 



Ciò premesso, supponendo che la successione M (l) , [s — 1 , 2 , ...] ^wda 

 ad un limite M e posto 



(17) A n .V'E[X w — M (B) ]< =«n, 



essendo A„ un numero positivo, richiamo il seguente caso particolare di un 

 teorema già dimostrato ( 5 ). 



Un confine superiore della probabilità che non sia 



(18) — «„ — | M ( „, — M | < M — X (n) < «„ + 1 M £B) — M | 

 è 



(19) i ■ 



4. Si consideri la successione illimitata di ineguaglianze: 



— a n — | M (W) — M | < M — X (n) < o„ + | M (ft) — M | 



(20) 



— — | M (n+ft) — M | < M — X (M+ft) gw* + | M (n+S) — M | 



( 6 ) Loc. cit. ('). 



