simultaneamente considerate, assumano rispettivamente valori di intervalli 

 la cui misura tende a zero. 



E poiché si ha, per la (26) stessa, 



(28) lim l m = 1 



si può concludere, senza difficoltà, che è prossima all'unità quanto si vuole 



la probabilità che le variabili casuali della successione 



(29) X ( i) , X (i) , ... , X (n) , ... 



assumano valori che tendano, nel senso ordinario, al limite M (*). 



6. Applico il teorema generale, precedentemente dimostrato, al caso 

 particolare di cui al n. 1. In base ai simboli sin qui adoperati, questo 

 caso equivale a supporre che la X n sia una variabile casuale che possa 

 assumere il valore 1 con probabilità p e il valore con probabilità 

 q = 1 — p , e si ha : 



I E(X„)=/>, E[X (n) ]=;?, 

 E(X„ - pY = pq , E [X w - p]* = 22 , 



(30) / 



E(K n - P y=pq-3pY, E[X ( „,-^ = 3-££ + 2£-§£!£ 

 I n n nr 



\ k=pq — SpY , B = pY . 



Quando si faccia poi, ad es., £ = - , e quindi 



(31) — t = (— t— V ■ a n , 



(w-j-s) 8 



(*) Interessa osservare che, se invece di basare la ricerca sulle (18), (19) essa fosse 

 stata basata sul noto teorema di Bienaymé-Tchebychef, oppure sull'espressione integrale 

 della probabilità (Laplace) completata da un confine superiore dell'errore (A. Liapounoff), 

 le serie da studiare sarebbero riuscite divergenti. D'altra parte può pervenirsi a confini 

 inferiori della probabilità h n ) più convenienti di quelli qui ottenuti, basandosi su teo- 

 remi che ho altrove dimostrato ( 6 ), confini dei quali qui non mi occupo per necessità di 

 spazio. Nel caso particolare di cui mi occupo al numero seguente, pure con lo scopo 

 di rilevare la portata della (26), può anche pervenirsi a risultati più convenienti usu- 

 fruendo, insieme con le considerazioni di cui al n. 2, di teoremi, dovuti a De la Vallèe- 

 Poussin e a P. Mansion, dei quali sono date indicazioni nelle citate Legons di R. de 

 Montessus. 



(6) Intorno ai un teorema fondamentale delia teoria del rischio (Bollettino dell'Associazione degli Attuari, 

 n. 14, Milano 1911). 



