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sìdère enfìn des fractions de composition. Tous ces symboles f° , f~\ fractions 

 de composition, sont entièrement forrnels, ainsi que les calculs de compo- 

 sition que l'on peut effectuer sur eux. 



Cependant, dans une certaine raesure, ces calculs forraels correspondent 

 à des calculs effectués sur des fonctions ordinaires. C'est ainsi par exemple, 



que, d'après la défìnition méme du symbole f~ v , dire que 



n'est pas autre chose que dire que g> est la solution de l'équation intégrale 

 (1) f9 = i>- 



Il n'en était pas moius intéressant, théoriquement, comme pratiquement, de 

 réduire autaut que possible la part de symbolisme dans la théorie des fon- 

 ctions d'ordre quelconque. 



J'y arriva ici, giace à une extension très naturelle de la notion de com- 

 position. Je prouve ainsi qu'une fonction d'ordre négatif non entier est une 

 fonction au sens ordinaire du mot, dont la composition (généralisée) avec 

 d'autres fonctions, jouit des propriétés classiques. Dans la défìnition d'une 

 fonction d'ordre nul ou entier négatif, reste forcément un élément formel; 

 je l'ai réduit au minimum. 



Comme application je résoud (§ 4) l'équation (1) quels que soient les 

 ordres de /' et de ip , sans avoir à me préoccuper des restrictions relatives 

 à ces ordres que l'on devait taire jusqu'à piésent. 



J'espère que ces recherches contribueront à montrer l'iutérèt des sym- 

 boles intrdduits, gràce a une analyse si élégante, par M. r V. Volterra. 



§ 2. — Les fonctions d'ordre réguliek. 

 Une fonction de forme 



a étant un nombre différent de zèro et d'un entier négatif et q>(x.x) 

 étant différent de zèro ('•) sera dite fonction- de l'ordre régulier a. Nous ad- 

 mettons, pour simplitìer, (f(x.y) holomorphe daus un domaine autour d'un 

 point de la droite x = y , domaine daus lequel nous nous maintiendrons 



(') Pour le moment, il suffit d'admettre que (p(% ,%) n'est pas identiqiiement nul: 

 C'est seulement pour la résolution d'une équation de forine (1), qu'il est utile de sup- 

 poser q>{x,%) constamment différent de zero. 



( a ) On peut remplacer, sans rien changer à ce qui suit, cette condition d'holomorphie 

 de <jp par l'existence d'un développement limite de Taylor poussé assez loin. 



