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Soit une seconde fonction d'ordre régulier /? 



g{x.y) = r — y{x-y)\ 



si de plus «-{-/? est égaleruent régulier ('), le résultat de leur composition 

 sera 



fg{x-y) 



f(x.S)g{S.y)dì 



la barre qui surmonte cette intégrale indiquant quii faut en prendre la 

 partie finie (*). L'intégrale précédente 



1 



- SP(a?.£) y(S.y) d§ 



rtf) r(a) 



est donc égale à 



y ' =2/ - A(*,) (*, - *)• - B (*) (y - *)P 



a;i et tendant indépendatnment vers leur limite, A et B étant des fouctions 

 de x Y et de y x ( 3 ) r^spectivement holomorphes autour de x x = x et y { = y 

 et choisies de facon que la limite eiiste; cette limite étant indépendante 

 de choix dos fonctions A et B ( 4 ). 



Si a et jS sont positifs la partie finie se réduit à l'intégrale ordinane. 



Eti s'appuyant sur le fait, facile à démontrer, que 



quels que soient a et /? réguliers, et en suivant à peu près la méme méthode 



(') Cette dernière hypothèse, qui n'est pas nécessaire pour que la partie finie ait 

 un sens, est pourtant essentielle, corame on s'en rendra compte. 



(*) Je renvoie, pour la défìnition et les propriétés de la partie finie aux travaux de 

 M. Hadamard qui a introduit ce symbole (Annales de l'École Normale. 1905). 



( 3 ) On sait que l'on déduit de cette expression de la partie finie d'autres expressions, 

 très commodes pour son calcul effectif. 



(*) A et B dépendent aussi des variables x et y ; elles ne jouent aucun ròle, ausai 

 ne les écrivons nous pas. 



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