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que pour les ordres positifs, on obtient les propriétés suivantes, bieu conmtes 

 si a et £ sont positifs: 



# * 



I. fg est une fonction d'ordre régulier a-\-(ì. 



II. On a 



D(/j) = D(/)XD(J) 



en nommant D(/"), diagonale de f, la fonction g> (x.x) (')• 



III. Si les fonctions /' et g sont pernnitables on a 



[D (/•)]' ■« ^ constante m 



Enfìn on peut établir que la coraposition, ainsi généralisée, obéit encore 

 aux règles de calcili de la multiplication ordinaire. On établit que 



Il est un peu plus délicat d'établir que 



VI. f{gh)={f'g)h 



f,g,h étant 3 fonctions d'ordres réguliers a,(i,y. Il faut bien entendu, 

 supposer aussi que tous les ordres des fonctions qu'jl faut envisager pour 

 etfectuer les opérations indiquées dans VI sont réguliers : c'est-à-dire que 

 P -\- y , a -\- fi , a -f- § -f- y sont aussi réguliers. 



La proposition VI s'établit indirectement comme il suit: on l'établit 

 d'abord dans les 3 cas particuliers suivants: 



[ \{gh) = \ìg)h 



< l) i (fg)i=f{gi) 



! f{\ii) = (f\)k 



{•) M. 1- Volterra donne de !)(/) une déflnition un peu differente, mais équivalente. 



( 2 ) Dans cette équation les puissances représentent des puissances ordìnaires et nón 

 des puissances de composition. J'avais établi Cette formule pour « et /i entiers positifs. 

 M. 1 ' Volterra l'a récemment démontrée pour a et p positifs quelconques. 



« # 



( s ) Pour que le fonction y -\- h soit de celles que nous avons défìnies au début du 

 § 2, il faut que les ordres de rj et h différent d'un entier. Il y a lieu alors de démontrer V 



et c'est aisé. Si non la formule V sera la déflnition de f(<J-\-h). 



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