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ce qui n'offre pas de difficultés giace à des différentiations sous le signe 

 intégrale et gràce à des intégrations par parties qui se font aisément malgré 

 la présence des signes partie finte. On prouve ensuite que démontrer la 

 formule (VI) revient à démontrer la snivante: 



ì('f(gh)) = ì({f'g)h) 



qui s'écrit, gràce à la première des formules (1) 



(lf) {gh) = ({\f)())h 



on a ainsi remplacé la fonction f par la fonction 1 f d'ordre a -\- 1 . 



En continnant de méme, on pourra se ramener au cas où la fonction f 

 est d'ordre positif aussi grand que l'on veut. On pourra, par un procédé 

 analogue, se ramener au cas où la fonction h est d'ordre positif. Mais la 



fonction f d'ordre grand peut toujours s'écrire /'il, fi étant une nouvelle 

 fonction d'ordre positif et la formule VI, gràce à la troisième des for- 

 mules (1), s'écrit encore 



* ### # • * • 



fA{\g)h) = (A (1 



la fonction g est ainsi remplacée par la fonction 1 g d'ordre supérieur /? -f- 1. 

 On voit que fin'alement il saffi t d'établir la propriété si /", g, h sont d'ordres 

 positifs; mais alors les signes partio finie disparaisseut, il n'y a plus aucune 

 difficulté. 



En particulier M. r Volterra a montré (') que, si £ est positif quelconque, 

 on peut écrire 



(y — x)t~ l 



(2) 15 = 



avec les règles de calcul suivantes: 



(3) M?'«ÌW' (i^=i^. 



Il n'y a aucune difficulté à étendre la définition (2) et les règles de calmi (3) 

 si £ , £' . f -{-£', sont réguliers quelconques. 



Dans une prochaine Note nous dérlnirons et étudierons les fonctions 

 d'ordre nul ou entier negati f. 



(*) Mémoire déjà cité, p. 23. 



Rendiconti. 1917, Voi. XXVI, 1° Sem. 



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