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Matematica. — Sulla varietà cubica con dieci punti doppi 

 dello spano a quattro dimensioni, e sulla configurazione di quin- 

 dici cerchi dello spazio ordinario studiata dallo Stephanos. Nota II 

 di Luigi Berzolari, presentata dal Socio E. Bertini. 



3. Tornando alla varietà cubica del n. 1, i suoi 10 punti doppi e i 

 suoi 15 piani sono tali che nè tre dei primi, nè tre degli altri appartengono 

 ad una retta; inoltre, in ognuno dei piani giacciono quattro dei punti, e per 

 ognuno dei punti passano sei dei piani. Ora si può dimostrare che queste 

 proprietà sono caratteristiche per la configurazione formata dai 10 punti 

 e 15 piani. In altri termini: 



Se in uno spazio di più che tre dimensioni (*) si hanno 10 punti 

 e 15 piani, tali che nè tre dei punti siano in linea retta, nè tre dei 

 piani passino per due dei punti, e se in ognuno dei piani giacciono quattro 

 dei punti e per ognuno dei punti passano sei dei piani, quei punti e quei 

 piani sono necessariamente i punti doppi e i piani di una varietà cubica 

 dello spazio a quattro dimensioni. 



Chiamando , 1 , ... , 9 i dieci punti, siano 0, 1, 2, 3 quattro di essi 

 situati in un piano. Per ognuna delle rette 01, 02, 03 passa al più un 

 altro dei 15 piani, perciò dei cinque piani ancora uscenti da 0, almeno due 

 non passano per nessuno dei punti ì, 2, 3. Dico che due tali piani non 

 hanno, fuori di , punti comuni. Se è possibile, abbiano invece in comune 

 un punto, che supporremo dapprima appartenente alla configurazione, per 

 esempio il punto 4 , e contengano ulteriormente i punti 5 , 6 e i punti 7,8; 

 esistano cioè i due piani 0456 e 0478. Degli altri tre piani per 0, 

 qualcuno passerà per il residuo punto 9: altrimenti ciascuno di essi conter- 

 rebbe uno e uno solo così dei punti 1 , 2 , 3 , come dei punti 5 , 6 , è come 

 dei punti 7, 8, il che è impossibile. 



Ora può darsi che un piano per , contenente 9 , passi ulteriormente 

 ad esempio per 5 e 7, oppure per 1 ed 8. Ma, nel primo caso, sugli altri 

 due piani per non potrebbero giacere che i punti 1, 2, 3, 6, 8, 9, 

 giacendo però su ciascuno di essi uno al più dei punti 1, 2, 3, ed anche 

 questo è impossibile. 



(') Nello spazio a tre dimensioni, le configurazioni di 10 punti e 15 piani aventi 

 le proprietà qui supposte sono invece di tre diversi tipi, come mostrerò in un prossimo 

 lavoro. 



