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Resta da esaminare l'ipotesi che insieme coi piani 012 3, 0456, 

 047 8 si abbia il piano 0189. I rimanenti due piani per possono an- 

 cora contenere soltanto i punti 2 , 3, 5, 6, 7 , 9, passando ciascuno al più 

 per uno dei punti 2 e 3 e per uno dei punti 5 e 6 : si può supporre ad 

 esempio che siano 25 7 e 36 9. Ora i piani 0123, 0189, 0369 ap- 

 partengono all' S a determinato dal primo di essi e dal punto 9; e i piani 

 0456, 0478, 02 5 7 appartengono all' S, determinato dal primo di essi e 

 dal punto 7. Ma di qui deriva l'assurdo che per passa un settimo piano 

 della configurazione, quello dei punti 0, 2, 6. 8 comuni ai due S 3 . 



Dato dunque il piano 123, dei cinque rimanenti piani uscenti da 0, 

 due certamente non hanno in comune alcun altro punto della configurazione, 

 e si può supporre che siano 45 6 e 7 89. Gli altri tre, non potendo 

 avere in comune coi precedenti, fuori di 0, più di un punto della configu- 

 razione, saranno per esempio 0147, 258, 36 9. 



Ne segue che i piani 04 5 6 e 7 89 si tagliano nel solo punto 0: 

 che, in caso contrario, giacerebbero in un S 3 , ed a questo apparterrebbero 

 tutti i punti della configurazione. 



Riassumendo, i sei piani passanti per uno qualunque dei dati punti, 

 ad esempio per , si dividono in due tenie 



(S) y 0123, 4 56, 0789; 



\ 0147, 258, 0369, 



in modo che due piani dell'una o dell'altra terna s incontrano nel solo 

 punto . e due piani di terne diverse hanno comune, oltre a , un altro 

 punto della configurazione. 



Di qui si deduce che i quattro piani della configurazione passanti per 1, 

 e diversi da 012 3, 0147, debbono rispettivamente contenere i punti 

 2, 3. 4, 7. E si riconosce subito che sono 



1269, 1358, 1489, 1567. 



In modo analogo si trovano i cinque piani rimanenti 



2 3 47, 2468, 2579, 3459, 3678. 



I dieci punti appartengono dunque ad un S 4 . quello determinato dai 

 due piani 0123, 0147 e dal punto 5. Applicando allora la costruzione 

 di Segre e Gastelnuovo, per esempio, ai quattro piani 0123, 0456, 1489, 

 2 5 79, come piano ad essi associato si trova 36 7 8, e ciò dimostra il 

 teorema. 



Del quale può farsi la seguente generalizzazione: 



In un S r {con r>3) si abbiano 2(r-j- 1) punti ed (r — 1) (r-j-1) 

 spasi S r _ 2 , tali che nè tre dei punti siano in linea retta, nè tre degli 



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