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Nous introduirons de méme les nouveaux symboles 



(4) f=a(x)\l £ = fc'%) 



représentant le produit et non la composition de a(x) par 1 ? et de b{y) 



par 1^' ; c'est ce que nous raarquons dans nos formules en explicitant, dans a 

 et b les variables et en ne surmontant pas ces fonctions d'une étoile. Dans le 

 cas où la composition fg est détìnie, on a 



(5) fg-a(x) b(y)\W 



dans le cas où elle n'est pas encore de'finie nous prendrons la formule (5) 



# * 



corame détìnition de fg. 



Entìn, li étant une fonction d'ordre quelconque régulier a, et £ et 

 étant égaux à — n (n étant un entier positif ou nul), si de plus a — n est 

 régulier, nous poserons par défìnition 



et 



fh = a(x) (— 1)" ^- h{x.y) 



7)" 



hg = b(y) — h(x.y). 



Nous nommerons fonction de l'ordre singulier — n (n entier positif 

 ou nul) une expression de forme 



(5) l-»A{x.y) C) 



A étant une fonction d'ordre entier positif que l'on peut toujours supposer 

 du l er ordre ( 2 ). Remarquons qu'il est naturel de poser, p étant un entier 



positif, 



j l- n (>/ — a;)P=Ì" in+ P(— n-\-p— 1) (— n-\-p — 2) ... (— n) sip<n 

 \ = si p > n , 



on s'en rendra compte en transformant d'abord l~ n+E (y — x) p de. manière à 



# 



( l ) Dans cette expression le symbole \~ n est multiplié et non composé avec k(x .y); 

 de mème dans les développements (7) et (8). Nous nous sommes d'ailleuis conformés aux no- 

 tations indiquées au début du § 3. L'expression (5) n'est pas une fonction au sens ordi- 

 narie du mot, mais un symbole dont nous défìnissons les règles de calcul. 



(*) Gràce aux formules (6) en peut toujours se ramener à ce cas. 



