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faire apparaitro \- n+i+ p , puis en faisant tendre e vers zero. Bq prenant 

 alors pour A(x.y) un développement limite de forme 



A (a . y) = A {sa . a) + (y — x) — A (x . x) -\ -f- 



+ -±- n k(x.x) + {y-xY^Sì{x.y) (*) 



ou 



A(ar.y) = A(y . ll)—{y — x) — k(y.y) -\ f- 



+ iy , XY {-l) n ^- n k{y.y) + (y - x)^ Sì, (x . y) 



il . oX 



et en utilisant les formnles (6), ou obtieut sans Deine pour (5) un dévelop- 

 pement de forme 



(7) i~" a (x) + ì-" +1 a'i(x)--\ \- ì° a n (x) 



ou 



(8) 1- J (yj + Ì^h-i //, (y) H f- !« 6 n (y ) 



Il est facile de prouver que si les développements (7) de deux fonctions 

 de la forme (5) sont identiques, il en est de raème de leurs développements (8) 

 et réciproquement: on dira alors que les deux fonctions sont égales. 



On définit aisément 1 addition des symboles (5): comme je dois me borner 

 ici à indiquer brièvement la suite des idées, je me contente d'indiquer que 

 pour additionner deux fonctions développées sous la forme (7) 



l- n a (x) + l-" +1 «, (as) H 1- Ì° a n (x) , 



Ì-" a[{x) + a[(x) H f- 1° 



il suffit de forrner, par addition terme à terme, le développement 



1-» (a (x) + a' Q (x) ) + f-" +1 («, [x) + a[ (a?) ) -\ \- ì° [_a n (x) + (a?)] 



qui est le développement de forme (7) de la somme cherche'e. 



t 1 ) Dans cette formulo —k{x.x) désigne la derivée ^- A (,c . y) oh Fon a fait 



y = ,_c ; de mème pour les . symboles analogues. 



( z j La fonctiou a (x) = b {x) doit étre nommée diagonale de la fonction d'ordre 

 négatif considérée. Nous verrons plus fard (fin de ce paragraphe) que les propiiétés II 

 et III du § 2 subsistent pour les diagonales de fonctions quelconques. 



