Plus généralement, nous appellerons encore fonction de l'ordre sin- 

 gulier — n une expression de forme 



\- H k(x.y) -f- H(x.y) 



H étant une fonction d'ordre entier positif. 



* # 



Pour composer deux fonctions / et g d'ordres quelconques a et /?, ré- 



* # 



guliers ou non, et pour former f g , nous remarquerons que l'on peut toujours 

 écrire 



; / = j> Oo (x) + l a+1 a, (x)-\ f- l a+n a„ {x) -f- H (# . y) 



(9) ' 



/ g = ÌP * (y) + (y) H f- 1^' ^ (y) + H'(* . y) 



H étant d'ordre supérieur k a -\- n et H' d'ordre <T supérieur à /? -j- 

 En prenant n et »' assez grand on peut toujours s'arranger de facon que 



ó, Ó' , + rf-f-/? et J'-f-« 



* * 



soient des ordres réguliers. Nous formerons alors ia fonction fgen cornpo- 

 sant terme à terme les développements (9), obtenant ainsi 



(10) f i = 2 ai{x) bj(y) Ì«-M« + ^ fl 4 (aO • l a+i H' + ^ *Xy) H + HH\ 



Tous les compositions qui sont indiquées dans le 2 èmo membre de la for- 

 mule (10) ayant un sens, d'après le choix de n et de n\ et d'après les dé- 

 fìnitions du début du § 3. 



Nous obtenons ainsi pour fg une fonction de l'ordre a -f- p et on peut 

 démontrer que toutes les propriétés I à VI prouvées au § 2 pour les fon- 

 ctions d'ordre régulier sont encore valables. En particulier on a 



* # # * # # 



(VI) f(g h) = (/' g) h 



* * # 



quels que soient les ordres de f ,g , h (')• 



On véri He enfìn que, que soit l'ordre de f on a 



• * # # » 



fio = 



§ 4. — Application à une équation integrale. 



Gràce à l'introduction des fonctions d'ordres quelconques et aux règles 

 de calcul précédentes (surtout la règie VI) nous pouvons résoudre l'équation 



(') C'est la plus délicate à démontrer des propriétés I à VI. Pour la prouver ori 

 suivra enc >re, dans ses grandes lignes, la marche esquissée au § 2. — Kemarquons aussi 

 que dans le cas où a ou § est nul, l'énoncé de III est légérement modifié. 



