de Volterra de première espèce 



(1) fi**i> 



f et ip étant des fonctioas données d'ordres quelconques a et jff , g> une 

 fonction inconaue d'ordre forcément égal a /? — a. 



Admettons d'abord que l'ordre /? soit assez grand pour que + 1 — a 



* 



soit supérieur à 1. En composant les 2 membres de (1) avec l 1_a et gràce 

 à VI on obtient 



# * # • * 



(2) (V-« f) y = V-« xfj 



équation équivalente à (1) car en eu coraposaat les 2 membres par l a_1 on 

 refcrouve l'e'quation (1). Mais (2) peut s'écrire 



(3) A <f> = ìpi 



* * * Uff 



fi = l 1_a / étant d'ordre 1 et t// x = l 1_a ^ d'ordre /S — f- 1 — a plus grand 

 que 1 (i/>, est donc nulle pour x — y). La résolution de l'équatiou (3) est 

 classique et on sait former deux fonctions h(x) et K(x.j/) ( x ) telles que <p 

 solution unique de (3) ou de (1) soit égal e à 



k 



ou avec nos notations 



(p = (h (x) l"- 1 + H l- 1 ) xpi = (h{x) l-« -f H 1-*) t/> 



* « * # • 



ou enlin en posant f- l = (h(x) l -a -f- H l _a ) , (Z^ 1 est d'ordre — a) ( 2 ) 



# * • 



Puisque cette fonction est solution de (1) on a 

 et 



«p(/-i/_P) == 



(') Cette dernière d'ordre entier positif. 



* * 



D.ms tontes ccs formules h{%) est multiphé, et non composé avec l"" 1 et \~ a . 



