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d'où entin (') 



(4) ?/- 1 =/- 1 ?=Ì° (*)• 



Les forrnules (4) établies, des calculs élémentaires montrent que, quel 

 que soit l'ordre de </\ l'équation (1) à une solution et une seule, donnée 

 par la formule 



(5) 9 = h ì> ( 3 ) 



On volt que, gràce à nos généralisations de la notion de composition 

 nous sommes arrivés à ealculer les symboles 



h 



* 



introduits par M. r Volterra. Si — a est régulier l'expression n'est plus 

 un syrnbole mais représente une fonction de x et de y dont la cornposition 

 à été étudié au § 2. Si — a est singulier, il reste, dans l'expression 



de f~ l les symboles 1° 1 _1 ... 1~" , . . dont les règles de calcul ont été in- 

 diquées au § 3. 



Il n'y a pas plus de difficulté maintenant à definir, en composant avec 



elle inème la fonction f~ l la fonction /'~" (n eutier). 



Entin, les fractions de cornposition introduites par M. r Volterra dans 

 son Mémoire déja cité, sont évidemment des fonctions d'ordre quelconque, 

 de la nature de celles que nous avons dérìnies ici. Ceci acbève de démontrer 

 que nos fonctions d'ordre quelconque co'incident avec celles de M. r Volterra. 



Remarquons enfin que si f et ip sont permutables, la solution <p de 

 l'équation (1) sera pormutable avec l'ime et avec l'autre. Il est clair par 

 exemple que l'on a 



fi = Ì f 



car cela s'écrit 



• # * * # # * » • » 



ff- 1 y = f- 1 ipf=f- i fxp = yj 



d'après les formules (4). 



# # » 



(') En efftìt, la fonction f f~~ l — 1°, par exemple, est d'ordre zèro et donc de forme 

 » • a • • • 



ct(x) 1° x.y) (L d'ordre entier positif). La formule (f f~ l — l°)i/; = s'écrit, en pre- 



nant \p d'ordre positif 



a{x) y(x.y) + Jl(#.£) *p(; .y) dS = , 



ceci a lieu quel que soit xp d'ordre positif. On en tire a(x) = , L (x . y) — , c'est à dire 



« # » 

 /'/-' = 1» 



on prouve de mème la seconde des formules .(4). 



( 2 j Egale aussi à /° par définition de ce demier syrnbole. 



( 3 ) Il n'est pas sans intérèt d'observer que la mème fonction f~* servirà dans la 



résolution de l'équation * « » 



<pf=tp 



analogue ;i l'équation (1). 



