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<I) (U + Mi -j" u z -\ ) + k — 



— U -f- U x -j • + U„-\ + (^n + ~f" 



(II) (w -j- + w 2 -j- • ■ ■ ) k = ku -j- toj + £w 2 -f- ■• • , 



(III) («o + », + m, H ) + (y + Wi -f- ) = 



= (^0 + Vo) -f- (w, + u,) -j . 



Al contrario, non sussistono le altre 



(IV) (ii, + Ul + ••• ) (», + t;i + •■•) = 



= w y + (w fi + M i y o) + («o ^ + ^1 + «a y o) H » 



(V) U -f- + «2 H = «• +Kl H H M r-1 + («r + «r+l -I ) • 



Ciò indusse il Borei a limitare le sue considerazioni alle serie assolu- 

 tamente sommabili, per le quali dimostrò esser valide anche queste proprietà. 



Ora, in una recente Nota ('), io ho dimostrato che, volendo restringere 

 il campo delle serie sommabili tino a conseguire la validità dell' importante 

 proprietà (IV), non è punto necessario spingersi tino alle serie assolutamente 

 sommabili (le quali formano una classe particolarissima di serie sommabili), 

 ma basta fermarsi alle serie sommabili B', caratterizzate dalla convergenza 

 (semplice) dei primi due integrali (4) soltanto ( 2 ). 



3. In questa Nota voglio dimostrare che neppure per conseguire la va- 

 lidità della proprietà (V) è necessario spingersi fino alle serie assolutamente 

 sommabili; ma che è sufficiente (ed anche necessario) fermarsi alle serie, 

 che chiamerò totalmente sommabili, caratterizzate dalla convergenza sem- 

 plice di tutti gli integrali (4). 



Se si osserva che la serie di potenze associata alla serie 



(8) U r + Ur +X -f- U r+ i H 



(') Nuova trattazione del metodo di Borei per la nominazione delle serie (Atti 

 della R. Accad. delle Scienze di 'l'orino voi. LII, 1916-1917, pag. 67). 



( a ) Precisamente ho dimostrato (loc. cit., n. 11) che: se delle due serie sommai/ili 



(5) tto + Mi + U 2 H , t- -|— u, — j— — 1 



con somma u,v rispettivamente, una e sommabile B', la serie 



(6) lfl o + *0i'+ W«H , ove W n = «o W» + Mi V n -ì H \~ U n V , 



è sommabile ed ha per somma w—uw. Che se poi ambedue le serie 5) sono somma- 

 bili B', anche la (6) è sommabile B'. 



Ancora: se le due serie (5) sono sommabili, la serie 

 -j- w + w, + w, + ••• 

 è sommabile ed ha per somma uv. 



