— 164 — 



è 



(9) 7 u r+n ^ = u<»(x), 



m—O n i 



e che perciò l'integrale (4) ne è l'integrale associato, possiamo anche dire 

 che una serie (1) è totalmente sommabile quando è sommabile insieme con 

 la serie (8), per ogni intero r > 0. 



La condizione necessaria e sufficiente affinchè per una serie somma- 

 bile (1) sussista La proprietà (V) per ogni intero r>0, è che essa sia 

 totalmente sommabile. 



Supponiamo infatti che la (1) sia sommabile con somma s. Affinchè 

 la (V) possa sussistere per ogni r>0, è necessario che sia sommabile la 

 serie (8) che comparisce nel secondo membro, per ogni r >0, e perciò che 

 la (l) sia totalmente sommabile. 



Viceversa, ae la (1) è totalmente sommabile con somma s, è pure som- 

 mabile la (8) per ogni r > ed ha per somma il valore a r dell'integrale (4). 

 Si ha inoltre 



f-t-oo 

 e~ x [u(x) — u ir) {x)~\ dx — 



M o+«i H \-U r -i -gi j dx=Uo-{-U x -\ \-U r -i (') 



e perciò la (V) sussiste. 



4. Or vogliamo provare che con l'acquisto della proprietà (V), nessuna 

 delle rimanenti proprietà viene perduta; sicché tutto l'algoritmo delle serie 

 assolutamente sommabili sussiste per la serie totalmente sommabili. Preci- 

 samente : 



Teorema I. — Se una delle due serie 



+ Ui -{- U 2 -| , U -f- U x -J f- U n -! -4- (U n + A) + U n+1 -) 



è totalmente sommabile, tale è anche l'altra, e fra le loro somme passa 

 la relazione (I). 



Teorema II. — Se una delle due serie 



(10) u -\- Ui -f- u z -{ , ku + kUi -4- kUì -\ (&={=0) 



è totalmente sommabile, tale è anche l'altra, e fra le loro somme passa 

 la relazione (II). 



(') Si ricordi che, per n intero non negativo, è 



■+-00 



e~ x x n dx — n\ 



-J 



