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 Teorema III. — Se le due serie 



(11) Mo + Wi + wH 5 fo + yi + ^sH — 



sono totalmente sommabili ed hanno per somma u , v rispettivamente, 

 anche la serie 



(«o + ^o) + («i + fi) + («2 + vt) H 



è totalmente sommabile ed ha per somma u -\- v , 



Teorema IV. — E, nelle stesse ipotesi, anche la serie 



(12) [w + uo\ +«02 H ove a©„ = w ■«„ + Mi y M -i H f- w„ ?; 



è totalmente sommabile ed ha per somma uv . 

 Teorema V. — Se una delle due serie 



(13) «o + ««i+«H • u r u r+i -\- u r+i -\- ■ ■ ■ 



è totalmente sommabile, tale è anche l'altra, e fra le loro somme passa 

 la reiasione (V). 



Le dimostrazioni dei teoremi I, II, III sono ben facili. 



Passando al teorema V, osserviamo che, nella seconda parte della di- 

 mostrazione del teorema del n. 2, è stato provato che: se la prima delle 

 due serie (13) è totalmente sommabile, tale è anche la seconda. 



Viceversa: se per un certo intero fissato r^>0, la seconda delle (13) 

 è totalmente sommabile, convergerà l' integrale (4) pel detto valore di r e 

 per tutti i maggiori, e quindi (') anche per tutti i minori, e perciò anche 

 la prima delle (13) sarà totalmente sommabile. Infine al n. 2 si è dimo- 

 strato che fra le somme delle due serie intercede la relazione espressa 

 dalla (V). 



Passiamo infine al teorema IV. 



Le due serie (11), essendo per ipotesi totalmente sommabili, sono anche 

 sommabili B' ; quindi, pel teorema enunciato nella seconda nota al n. 2, 

 possiamo asserire che la serie (12) è sommabile (anzi è sommabile B') e 

 che ha per somma uv . Dunque intanto: la serie prodotto {di Cauchy) di 

 due serie totalmente sommabili con somma u , v rispettivamente è som- 

 mabile ed ha per somma uv . 



Per dimostrare che la (12) è anche totalmente sommabile, basta di- 

 mostrare che è sommabile per ogni r la serie 



(14) W r + W r +i + W r +i H 



C 1 ) Loc. cit., n. 6, lemma II (di Hardy). 

 Rendiconti. 1917, Voi. XXVI, 1» Sem. 



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