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Ed infatti, poiché la prima delle (11) è totalmente sommabile, tale 

 sarà pure (pel teorema V) la serie 



(15) u r + u r+1 + u r+ i H 



Poiché la (15) e la seconda delle (11) sono totalmente sommabili, pos- 

 siamo asserire (per quanto abbiamo rilevato più su) che la serie-prodotto a 

 cui dànno origine 



U r V -f- {Ur Vi -j- U r +i V 9 ) -f (u r V t + «r+i V , -f- ©o) + » • • 



ossia 



(16) [W r — {Ur-i Vt -f U r _2 V t -\ (- U V r )~] -f- 



-f- Or+i — (Wr-i V 2 -f- Ur-t «3 + h Wo H 



è sommabile. 



Intanto, poiché la seconda delle (11) è totalmente sommabile, tali sa- 

 ranno pure (pei teoremi V e II successivamente applicati) le serie 



U r -ì Ù, -f- U r -ì Vi W r -l V 3 -\ 



U r -2 V 2 -J- U r -i V 3 -j- u r-ì v 4 "j 



(17) <■ 



[ w tv + w„ v r+l 4- w ^ r+2 -| 



Sommando, termine a termine, le serie sommabili (16) e (17), si trova 

 la (14), la quale perciò sarà sommabile. 



5. I teoremi precedenti ci permettono di concludere che d'ora innanzi 

 la considerazione delle serie assolutamente sommabile è inutile (almeno 

 per la teoria delle serie numeriche), perchè in luogo di esse si possone con- 

 siderare con vantaggio le serie totalmente sommabili; in quanto che costi- 

 tuiscono una classe di serie più ampia, pur godendo di tutte le proprietà 

 algoritmiche delle prime. 



Vi ha di più. Hardy (') ha dimostrato che vi sono serie convergenti 

 che sfuggono alla sommabilità assoluta, cioè che non sono assolutamente 

 sommabili. Invece: ogni serie convergente con somma s è totalmente som- 

 mabile con ugual somma. 



Infatti se una serie (1) è convergente con somma s, è anche somma- 

 bile con ugual somma ( 2 ) ; ma è pur sommabile la serie (8) per ogni r > , 

 perchè convergente, dunque la (1) è totalmente sommabile. 



(') Quarterly Journal of Matheniatics, voi. 35, 1903, pag. 22. 

 (') Ibidem. 



