Ora l' idea più semplice e più, esatta è quella di sostituire in questo inte- 

 grale alla y un suo valore approssimato (anche soltanto in modo grossolano, 

 perchè h è molto piccolo). E i calcoli numerici risultano tanto semplici 

 quanto i consueti, che ricorrono invece al calcolo di fydx. Come ora pro- 

 veremo, si possono in modi molteplici trovare tre costanti a , b ,c , così da 

 poter scrivere con sufficiente approssimazione y = a -j- b tg 6 -j- e tg* 0. Si 

 avrà allora: 



L = (1 + he — ha) [£„_, (0) - (gt>)] — eh (0) — £„ +1 (<?)] — 



— — [sec n — sec" ccl , 



n 



che risolve il nostro problema per mezzo delle solite funzioni |(0) , per cui 

 i balistici hanno, come è noto, costruito tavole numeriche. Tutto è ridotto 

 pertanto a calcolare le costanti a , b , e . Ciò che si può fare nei modi più 

 svariati: o calcolare in modo analogo a quello che esponiamo nel § 3 lo 

 sviluppo della y secondo le potenze di tangfl. oppure sostituire alla traiet- 

 toria una curva media tra due parabole P! , P 2 che comprendano la traiet- 

 toria stessa. A parabole P* possiamo per es. assumere quelle ( x ) che nel 

 vuoto sarebbero descritte da un proietto, che partisse, o che arrivasse con 

 la stessa inclinazione e con la stessa velocità del nostro proietto. 



§ 3. Sviluppo di Taylor. — Nello studiare le traiettorie per il nostro 

 mortaio da 210, ho notato che il semplice sviluppo di Taylor delle x , y 

 secondo le potenze di tangfl, o di 6 permette, senza speciali tavole nume- 

 riche, di calcolare un arco di traiettoria con metodi rapidi e non meno ap- 

 prossimati dei consueti. Io qui, a titolo di esempio, mi occuperò dello svi- 

 luppo della x secondo le potenze di 0. Supponiamo di studiare un arco di 



n^i v\ 



traiettoria, ove F(y) sia proporzionale a v n ; cosicché P' (v) = — - — . Da 

 questa, e dalle equazioni fondamentali della balistica si deduce derivando 



e ponendo H — l ~ : 



Gg 



% = -~ g ^ g=-2^tang« + HP( y) sec,] 



= — 2 ^ J(l + 3 tg* 0) + ( W + 5) tg»[HF(t>) sec0] + 



+ (rc + 2) [HF(y) sec 0]* f , 



Trascurando i termini dello sviluppo, che contengono derivate di or- 

 dine superiore, la forinola di Lagrange del resto dimostra che l'errore com- 



T / n \* 



messo per un arco, ove varia di « gradi, è minore di — a 4 ( JgQ J 



(') Altro parabole di questo tipo sono date dal prof. Picone in una sua notevole 

 Memoria in corso di stampa nella Kivisia di artiglieria e genio ; altre, traiettorie appros- 

 simate del tipo voluto sono date nella Nota citata dell' ing. Bianchi. 



