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ligne M 1 M* . Les lignes Ch > £% S011 t fermées si les axes sont arbitraires, 

 cai - alors le pian de l'infini n'est tangent ni à Cj , ni à G t , et quand y 

 décrit y , et M* sont ramenés à lem- position primitive. l,\ et f| forment 

 la frontière complète de <P ftS . Si Fon remplace le chemin M^M» par un 

 autre, les deux ne différeront que d'un cycle linéaire c de H y . Le lieu de tr 

 quand y décrit y , est une surface fermée correspondant à un résidu à l'in- 

 furi pour les intégrales doubles, ou comme nous le dirons, c'est un cycle 

 résiduel. Un tei cycle est à considerar comme nul, car il peut ótre réduit 

 par déformation, à une ligne ordinaire de la surface (dans ce cas la position 

 de <r pour y = oo) . 



2. L'ensemble des lignes Q forme frontière complète pour une certaine 

 aire fermée ì P l de Ci , puisqu'elles entourent les points à Fintini. De mème 

 on aura une aire fermée *P 2 de C 2 , dont les lignes forment la frontière 

 complète. Avec les uotations de Poincaré dans ses études d'Analyse Situs, 

 on a les congruences 



Par suite 



c'est à dire que r est un cycle à deus dimensions de notre surface algé- 

 brique. D'après une remarque faite plus haut, quand on change la forme 

 des lignes ÌH l h M* on ne fait qu'ajouter à F des cycles résiduels, c'est à dire 

 des cycles nuls. F est donc bien défini. C'est le cycle que nous avions en 

 vue. Il faut montrer que l'on n'a pas r . 



3. Pour atteindre notre objet, il suffit de montrer qn'il existe une in- 

 tégrale doublé de deuxième espèce, sous la forme dite normale 



(1) ) J ^~ — dx dy , (P polynome adjoint), 



à periode non nulle par rapport à r. En effet, d'après les travaux classiques 

 de Mr. Picard, le nombre de telles intégrales à périodes non nulles, est 

 précisément celui des cycles à deux dimensions. 

 Tout d'abord je dis que 



Transformons birationnellement la surface F, en une autre F : , d'équa- 

 tion F, (a;, , y, , *,)= , au moyen d'un système lineaire |D|, découpé par 



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des surfaces adjointes ]T . li (p t (x , y , = , la transformation étant dé- 

 fìnie par 



<fh ( f t n (f i 



#1 — i Pi — , ^i — 



(fi (fi (fi 



Rendiconti. 1917, Voi. XXVI, 1° Sem. 



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