Supposons le système |D| choisi de telle manière que, D t - étant la courbe 



~ò {x w) 



dóterminée par <p, = , d fasse partie de D 2 . Le jacobien — — : — r ne 



s'ann alle identiquement que sur D< . De plus, comme les axes sont arbi- 

 traires, C, ne fait pas partie de la courbe siraple de P, pour laquelle Fj = 0. 

 Le jacobien ci-dessus ne s'anuulera donc qu'en un nornbre fini de points 

 de Entourons chaeun d'eui d'un petit circuit sur C, , et soit *P[ la 

 somme des aires que ces circuits renferment. Posons enfin «P[' = *P, — *P[. 

 La quantité 



~P(x .y ,2) 



fX 



<#<; p; 



dx dy 



est éridemiuent très petite. D'ailleurs si 9[' est la transformée de *PJ' sur 

 Fj , corame y x = en tous les points de 9" , on a 



„ Pi^X^l dx d „ = f (_„ H^Jl dx dy = . 



ce qui suffit pour démontrer la première équation (2), et par suite aussi la 

 deuiième. 



4. D'après ce qui précède la période par rapport à r, est donc égale 

 à la valeur de l'intégrale étendue aur surfaces <D h?t . C'est par suite le ré- 

 sidu à l'infini de la fonction 



qui y est d'ailleurs régulière. Les fonctions de ce genre, correspondant à 

 l'intégrale abélienne 



) dx 



relative à H. y , ont déjà été étudiées par Poincaré (Annales de l'Ecole Nor- 

 male, 1909; Archiv fur Math. 1911). Quoiqu'il se soit limite surtout au 

 cas où (3) est de première espèce, certaines de ses conclusions s'appliquent 

 encore ici. En particulier nons avons 



où: 1°) les plans y — bj. sont les plans du faisceau y = Cte , tangents 

 à P . 2") Sìj(y) est une période de (3) correspondant au cycle linéaire de H„ 

 qui devient très petit pour y = bi . 3°) E (y) est un polynome de degré 



