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v — m~\-2, v étant le degré de P. 4°) Les \x sont des entiers indépen- 

 dants de l'intégrale particulière (3) choisie. 



Supposons que (3) se réduise à une intégrale de première espèce. On 

 aura, si A est un point base de j H y ( , 



(5) Xa,*Xf du = Ml ^*L K dU ~~ m * -"X^ dU • 

 D'ailleurs (Poincaré) 



^- h JA —2mJb Y — y 



— *Ja — 2-nciJh Y — y 



où la peiiodo XfJ correspond a Sìj pour u , et ces sornmes sont le» » i'onctions 

 normales » de l'illustre geometre. Rappelous les propriétés suivantes: 



1°. Tonte période est une fonction normale. Soit o>, , oo% , ... a> tp , 

 2p périodes fondamentales, p étant le genre des sections planes de la sur- 

 face. Les entiers l\ , l' t , ... / ! N , formant le système des X pour <u; , ne dé- 

 pendent pas de l'intégrale de première espèce choisie. 



2°. Si C, = C, , on a X) = X] . modulo l) , l) , If . Plus généra- 

 lement soient Ci , C t , ... C s , des courbes algébriques ne passant pas par les 

 points bases de |H y f, X\ , X\ , ... X*^ , les X pour C,- . Si ^tiOi — O, oh a 

 aussi 2 ti X) = Q, modulo l) , l) , ... If . 



Des relations (3). (4), (5), on tire iij = miX] — m t X) . De (5) on 

 déduit en prenant le résidu à 1 infini de w{y) , la valeur 



(6) Y. tyj* Sìj{Y)dY, 



pour la période de l'intégrale doublé (1) par rapport au cycle r. En re- 

 marquant que cette période est indépendante de b, et par suite a une dé- 

 rivée nulle par rapport à b , on obtient la relation 2 rt> (^) = . ce qui 

 Térifie que (6) est bien une période de (1) (Picard). 



La période obtenue est évidemment nulle si d = C», quand (1) est de 

 seconde espèce, résultat que l'on peut déduire de la détìnition de F . 



5. Pour acherer la démonstration, nous aurons recours aui intégrales 

 doubles sous forme normale et en méme temps du type 



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