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rithmiques à di^tance finie, eeux des groupes D t - H y D, , avec des pé- 

 riodes égales pour toutes deus à une tnéme constante que l'on peut sup- 

 poser égale à un. 



6. Le pian à Fintini étant aibitraire, on peut supposer que U, , Vj . ne 

 deviennent intiuies nulle part sur les 4> . On ama alors, en appliquant une 

 transformation bien connue, pour la période de (8) par rapport à T, la 

 valeur 



— hh J. \ i>x 1 ìy ! 



= m x Y , (U; dy — V; dx) — m, v ! , (IL. dy — Vj dx) . 

 — — h 



Le coefflcient de m 2 dans cette relation est égal à la somme des pé- 

 riodes logarithmiques à Fintini de l'intégrale abélienne 



| Vi dy — Vj dx , 



relative à Ci, et par suite égale à celle des périodes logarithmiques à di- 

 stance tìnie. Les seuls points logarithmiques à distance tìnie, aont ceux du 

 groupe d D,- , et ceux où <p[y) = 0. On pourra toujours supposer que panni 

 ces points ne se trouvent aucun des points B, et par suite, on pourra tou- 

 jours choisir pour e une détermination holomorphe au voisinage de l'un d'eux. 

 Soit M un des points du premier type, M 7 un du second, >; , r( deux petits 

 circuits autour de M , M' , dans Cj , sj , e', deux détermination de e holo- 

 raorphes autour de M , M' , respectivement. On a 



( Vidy— V; dx = I (Ut — f i) dy — Vj dx = 1 . 



. • ì] ■ rj 



\ TJi dy — Vi dx = ( (IL — f [) dy — Y l dx = 0. 



Jt] Jrl 



En désignant comme d'habitude par [CD] le nombre de points du groupe 

 CD commun à deux courbes C , D , le coetììcient de m 2 dans l'expression 

 obtenue pour la période de (8) par rapport à r, est donc égal à [Ci DJ. 

 De meme celui de m x est — [C 2 Dj]. D'où pour cette période la valeur 

 [(m 2 C! — m x C 8 ) Dj] . Elle est nulle si w 2 [C, D t ] == m x \Q,% Dj]. D'ailleurs 

 si E est une section piane, on a m 2 [C, H] = jb, [C 2 HJ = m'im t • Donc si 

 toutes les périodes des intégrales doubles (8) par rapport à r étaient nulles. 

 on aurait m t [Ci D] = m x [C 2 D], pour tonte courbe D de P, et par suite, 

 (Severi), tm 2 Gì = tm^ C 2 . Ainsi si d et C 2 sont algébriquement distinctes, 

 il y a au moins une intégrale doublé de seconde espèce à période non nulle 

 par rapport à f, et l'on n'a pas r~0. C.Q. P. D. 



