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Possiamo subito osservare che, per noti teoremi, dalle due successioni 



k^x) , h t {x) , ... 

 ki{x) , k t (x) , ... 



si può sempre dedurre, mediante combinazioni lineari, un sistema biorto- 

 gonale normaliizato : 



p^x) , p,(x) , ... p P (x) 

 q t (x) , q t (x) , ... q P (x) . 



Si può scrivere dunque : 



v(xy) = y « r , p r {x) q,{y) . 



2. Supporremo dapprima die, in particolare, sia 



v(xy) = Y <x,.p,{z) q r (y) 

 e che l'equazione algebrica 



ammetta solo radici semplici. Notiamo che se fra le « r ve ne sono Qi eguali 

 ad a; Q t eguali a /? e così via, il nucleo v si scrive sotto la forma: 



Pi Pjl P» 



v(xy) = a >_ p r (x) q r {n) + p\ p r {x) q r (y) + Y ^_ Pr(oc) q r (y) H 



1 Pi ?. 



con a , p 1 , )' tutte diverse fra loro. 



Quindi, se indichiamo con F(f). = l'equazione algebrica che ha per 

 radici semplici tutte e sole le a , fi , y ,. ... , , possiamo dire che il nucleo v 

 soddisfa all'equazione di composizione 



XX XX 



F(r) = 0; 



e questa sarà l'equazione di composizione, priva di termine noto, e di grado 

 minimo cui esso soddisfa. 



Tenendo presente la (1). vediamo che la a. se esiste effettivamente, 

 deve certamente soddisfare l'equazione di composizione: 



XX XX XX 



(2) F (/■(,*)) = . 



3. Intanto osserviamo che — per le ipotesi fatte — l'equazione algebrica 



(3) F(y(£)) = 

 è a radici semplici. 



