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Quindi, la più generale soluzione della (2) è data da un nucleo 



con le £ ,rj formanti sistema biortogonale normalizzato, e le c r radici della (3). 



Ma noi vogliamo che questa soluzione soddisfi anche la (1); e perciò 

 deve essere: 



XX XX 



Per i risultati ottenuti nelle Note precedenti, e per la speciale forma di 

 si ha: 



XX XX 



(4) f (fi) = T f{c r ) £ r (x) rj r (y) = >_ a r p r {x) q r {y) . 



Da quest' ultima eguaglianza segue che il sistema biortogonale (£ , rj) deve 

 comprendere quello (p , q) (o un suo trasformato mediante una trasforma- 

 zione lineare biortogonale: ciò che non cambia il ragionamento). Quindi 

 esso si otterrà aggiungendo alle p delle funzioni u , ortogonali alle q ; alle q 

 delle funzioni v ortogonali alle p; le u e v essendo biortogonali fra loro. 

 Epperò resta: 



(5) f_ f{c' r ) p r {x) q r (y) +' f f{c") u s {x) v s {y) == Y a r p r {x) q r {y) , 



i i 



ove e e e 1 ' stanno ad indicare i due gruppi in cui si dividono le c. 



Ma quesfultima eguaglianza può sussistere solo se si ha separatamente : 



> f(c'r) p r (x) q r (y) = V a r p r (x) q r (y) 



fiO u s (x) v s (y) = 



Basta, infatti, moltiplicare la (5) per una qualunque coppia p r {x) q r (y) ed 

 integrare rispetto alla x ed alla y nel campo fissato, per avere : 



f( c ' r ) = a r , 



e operare analogamente con la u s {x) v s (y) per avere : 



