4. Si vede quindi che vale il 



Teorema. — La soluzione generale dell' equazione di composizione'. 



f(n) = T a r p r {.x) q r {x), 



nell'ipotesi che l'equazione algebrica /(£) = sia a radici distinte, si 

 ottiene aggiungendo al nucleo 



n l = ^_c' r p r (x) q r {y) : f{c' r ) = «r 



il nucleo ad esso ortogonale 



n* = ^_ c" u s (x) v s {y) ; f(e") = 



soluzione della 



X X X X 



f(n) = Q. 



Infatti, pel ragionamento fatto sinora, ni ed n t saranno ortogonali, 

 perchè formati con funzioni appartenenti a porzioni (che non hanno parte 

 comune) dello stesso sistema biortogonale. 



Se il numero delle p è q , e se la /'è di grado m , la n x avrà m? 

 forme differenti in corrispondenza appunto alla scelta delle c' . 



Per esempio, consideriamo la 



n * = 3n — 2(p 1 {x) q y {y) + p t (x) q 2 (y) '+ p 9 {&) q 3 {y)) . 



Si ha: 



— — ; « r = — 2 (r=l,2,3). 



Per ottenere le c£ bisogna risolvere la 



/V) — a r ==£* — 3£ + 2 = 0, 



che dà ?! = 1 , £ 2 = 2 . 



Quindi il nucleo w, sarà dato da 



Hl = 2 ][») ?» + Z Pr (*) = 2 »' + W " ( V = H ' + »") ' 



ed inoltre 



«2 = 3 y v r {y) = , 



ove le , </ sono alcune delle p , q ; p" , q" le rimanenti ; le n' . n" , n" sono 

 ortogonali fra loro. 



Eendiconti. 1917, Voi. XXVI, 1° Sem. 31 



