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x x 



Infatti si ha, tenendo presente che {n'f = ri ; ,.. : 

 (2 ri + ri' -f 3 7'T — 3(2// + n" -f Bri") + 2{ri -f ri') = 



= 4(«') 8 -f (*rc") 2 + fl(f?")» — Ori — 3«" — 9ri" + 2n' + 2rc" 



che è identicamente nullo. 



5. Passiamo ora a trattare il caso che la v non abbia quella forma 

 particolare, o che la /'(£) = non abbia radici semplici. 



È facile vedere che (*), dati due nuclei di Goursat appartenenti allo 

 stesso sistema biortogonale (o ciò, che è lo stesso, di cui uno dei sistemi 

 comprenda l'altro) e differenti quindi per i soli coefficienti a; chiamata 

 » matrice relativa » del nucleo v la matrice : 



A==||«r,||; (r , s = 1 , 2 , ... q) 



sussistono i lemma 



I. La matrice relativa A di un nucleo v , composto mediante due 

 altri nuclei, le cui matrici relative sieno k x ed A 2 , è data da 



IL La matrice relativa B di un nucleo v , somma di due altri 

 nuclei, le cui matrici relative sieno H x e B t , è data da 



B = B, -)- B, . 



Il quadro delle a rs va ovviamente completato con degli zeri, al posto 

 dell' a r j. se nel nucleo v non figura il prodotto p r (x)q f (y); inoltre v sarà 

 il nucleo relativo ad A , nel sistema (p , q) . 



Tali due lemma mostrano che il calcolo di composizione sui nuclei v 

 appartenenti allo stesso sistema biortogonale coincide col calcolo delle loro 

 matrici relative; e reciprocamente ogni relazione intercedente fra le matrici 

 può essere direttamente letta come una relazione di composizione fra i nuclei 

 relativi, scelti tutti in uno stesso sistema. 



Ad ogni matrice corrisponde un nucleo relativo ed uno solo, in ogni 

 sistema (p,q); ad ogni nucleo una ed una sola matrice relativa. 



Intanto noi sappiamo che la matrice A soddisfa coll'equazione caratte- 

 i*isticfl * 



r(A) = y, A + y 2 A* -J f- y„ A" =||0|| i 



quindi, a sua volta il nucleo v soddisfa all'equazione di composizione: 



XX XX 



r(v) = o. 



( l ) Cfr. Volterra, Sopra le funzioni permutabili dì 2 a specie, Rend. R. Accad. dei 

 Lincei, ser. 3*, voi. XX. 



