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Epperò n , se esiste, deve soddisfare certamente all'equazione di com- 

 posizione 



X X X X X X XXXX XXXX XXXX 



r{f{n)) = Yi f{n) + n (/"(»))• H h r* (f(n)° = 0. 



Eichiamaudo i risultati delle due Note precedenti, vediamo che la solu- 

 zione generale di questa equazione è un nucleo di Goursat 



fi = y g rs x r {x) r j3 {y) , 

 ove x > r i s o QO funzioni di un sistema biortogonale. Quindi, a sua volta, 



Xxxx 



l'espressione f(fi) sarà della stessa forma: 



y ( A*) = Z ?rs Xr{x) t],(y) , 



ove le / si ricavano subito dalle g . 



Se si vuole che n ci dia proprio la n, dovrà essere: 



< 6 ) y_ Ir* %r{x) r/ s (y) = ^ a rs p r {x) q s {y) . 



La (6) implica che il sistema biortogonale (o un suo trasformato me- 

 diante una trasformazione lineare biortogonale, ciò che è lo stesso) (p , q) 

 sia compreso nel sistema 



Epperò, scelto un qualunque sistema x , Cfle comprenda (p,q); chia- 

 mata H la nuova matrice ottenuta orlando con zero la matrice A [relativa 

 a v nel sistema (p,q), mentre la nuova è relativa a v nel sistema (x . >))], 

 e detta G la matrice relativa ad n nel sistema [Xi^), si dovrà avere: 

 0! G -f a t G* H \-a w G m = ~R. 



Quindi abbiamo il 

 Teorema II. — La soluzione generale dell' equazione di composi- 

 zione 



XXXX 



f(n) = v, 



ove v sia un qualunque nucleo di Goursat, si ottiene risolvendo l'equa- 

 zione fra matrici : 



/"(G) = H 



e prendendo il nucleo relativo alla matrice G , nello stesso sistema biorto- 

 gonale (£ , r)) comprendente quello primitivo di v, rispetto al quale si è 

 presa la matrice relativa H del nucleo v. 



Per v = si ritrovano i risultati delle Note precedenti; però lo svol- 

 gimento in esse dato è necessario, poiché permette appunto di assegnare la 

 forma delle soluzioni, mentre col presente metodo, noi ci limitiamo a veri- 

 ficare che se la soluzione è di una certa forma, sussiste una certa relazione 

 algebrica fra i coefficienti g del nucleo n, senza mostrare che effettivamente 

 quella data sia la forma più generale di soluzione. 



