I limiti dell' integrale non cambiano ; sarà dunque 



r-t-oo 



<s{x -f- ?) = n(ax — pk) ds = a{x) , 



da cui, ponendo x = , si trae 



cr(£) = tf(0) = /j. 



Si vede che soddisfatta la condizione (B), è di conseguenza soddisfatta 

 la condizione enunciata nel lemma. 



2. Dimostriamo ora che, almeno in un certo intorno di l — , la (A) 

 ammette soluzione unica soddisfacente alla condizione 



se è anche 



sp(#)|<ó> 



in*yr<t 



(— oo <Cx < + co) 

 ( — oo < x < + co ) ; 



e che inoltre, almeno in quell'intorno, tale soluzione è sviluppabile in serie 

 di potenze rispetto a X. 



Consideriamo lo sviluppo 



(1) 6(x)=f(w) — xjn(xs 1 )f(s ì )ds + 



-f- ^ j-dst J^xSi) n(s 2 s,) f(Sì) dSi 



ove per brevità si ponga 



n(ax — (ìy) = n{xy) 



e si tralascino i limiti d' integrazione. 



Supponiamo d'aver già dimostrato che 



j*n(zs m ) ds m Jw(s m ^m— l) ds m —i jf • • • i| s) f(s) ds 



in conseguenza di quanto abbiamo già detto sarà: 



^n{xy) dy j*n(ys m ) ds m ^- ■ • ^n{Si s) f{s) ds 



— km ; 



< J\n{a;y)\ dy 

 ed essendo 



j~n(xs) f{s) ds 



n(Sì s) f(s) ds 



n(xy) | k m ■ dy < k k„ 



fi n(xs) | | f(s) \ds<Fk, 



