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pel principio d'induzione completa, avremo che 



| j" n(xs m ) ds m j*- ■ ■ j^n(si s) f(s) ds 



Ne segue che lo sviluppo (1) ammette come maggiorante la serie 



(2) F ■ 2 l n k m ; 

 e poiché questa converge assolutamente per 



ne deduciamo che sotto tale condizione effettivamente la (1) rappresenta 

 una serie che converge uniformemente nel campo ( — oo , -j- oo ) rispetto 

 alla x ; e che anzi 



(3) \'6(x)' 



Se invece di avere 



1 — \Xk I 



f{x) | < F 



si avesse solo 

 (4). 



j^n(xsr) ds r ^- • • ^n(s t Sj) /'(Si) dsi 



<F, 



mentre gli integrali 



jn(xs p )ds p j--- jn(s 2 Si) fisjdsi (eO) 



esistono qualunque sia x , il ragionamento fatto vale ancora, come si vedrebbe 

 trascurando i primi r termini della (1). Seguendo il ragionamento che fa- 

 remo, si vedrebbe che esistono 



d(x) , ^n(xs) 0(s) ds , ... , 

 ma che si può solo affermare che 



y n(xs r ) ds r ^- ■ • J^(s 2 Si) 0(si) ds^ 



< & (costante), 



e che in conseguenza resta invariata tutta la discussione. 

 3. Dimostriamo ora che per 



|M|<1 , 



la (1) rappresenta effettivamente la soluzione di A, e che tale soluzione 

 è unica. 



