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Poniamo 



0[x) = | f{x) — X j*n(xs) f (s) ds -j- X 2 ^n(xs l ) dsi^n{s x s) f(s) ds — 



[_ (_ X) m+1 fn(xs m ) ds m jr-j n(s 1 s) f(s) ds J + R m (x) ; 



in conseguenza sarà: 

 6(x) + X ^n{xs) 6(z) ds == | f{xj — X J^(«rs) /(s) + 



_| [_ jrc(#s m ) ds m y ■ ■ s) /(s) rfs | + R m (^) + 



+ ^ | f(z) dz — X ^n(xz) dz j~n(xs) f(s) ds + 



+ ••• + (— X) m+1 | & jn(zs m ) dsmf- ■ ■ j n(si s) f(s) ds j + 



+ X jn(xz) B, m {s) dz . 



Per le ipotesi fatte sulla convergenza degli integrali, il primo e terzo 

 termine si possono sommare membro a membro ; spariscono tutti i sommandi 

 eccetto il primo del primo termine e l'ultimo del terzo. Resta dunque: 



6{x) + l j n(xz) 6(z) dz = 



= fip) + 1 (— x ) m+1 § dz jds n{xz) n(zs m ) . . . n(si s) f{s) ds -f- 

 -f- R m (a;) + A \n{xz) R(*) cte) . 



Ma abbiamo già visto che la (1) ammette, per ogni valore di x, la (2) 

 come maggiorante; ed essendo \Xk\<Cl, ne viene in conseguenza che dato 

 un e piccolo a piacere, esisterà un indice (i tale che per m > fi sia sempre 



Rm {x) |< e j 



— oo <^x <^-j-oo 



j dz f- • • j*ds n(xz) n(zs m ) . . . n{s y s) f(s) 



Quindi sarà 



^n{xz) R m (z) dz 



n{xz) \ \ R m (z) | dz < s | | , 



ove, pel lemma enunciato, l'ultima quantità scritta è eguale ad sk . 



