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Ed avremo in conseguenza 



6(x) + X\ n{xs) 6(g) dz— f{x) 



< s-\-e + \Xk\ s<3« 



con e piccolo ad arbitrio. 



Quindi sarà precisamente 



6(x) + X ^n{xz) 6{z) dz — f(x) = 



cioè 6{x) sarà soluzione della (A). Il ragionamento fatto sussiste invariato 

 nelle conclusioni, e poco modificato nella forma, anche nell'ipotesi più ge- 

 nerale fatta colla (4). 



4. Resta da mostrare che imposta la condizione 



I 9>(so) \< ® , 



[o quella più generale enunciata alla (4)], la soluzione è unica nel campo 

 di validità dello sviluppo in serie. 



Supposto infatti che esistano due soluzioni soddisfacenti a tale condi- 

 zione, la loro differenza vi soddisferà ancora, e sarà soluzione dell'equazione 

 omogenea 



ù>{x) -f- X j n(xs) co(s) ds — | Xk\ <C 1 ■ 



Quindi, chiamato Sì il limite superiore di |w(aj)|, sarà 



(5) 



N*)|- 



X I n(xs) &)(«) ds 



X\ ) \n(xs) \ \ co(s) \ ds < \ Xk\Si 



D'altra parte, dalle (5) si trae successivamente 



j n(xs) oo(s) ds = X j n(xSi) dsi j*n(s l s) oo(s) ds 

 j'n(xsi) dsi j*n(Si s) (o(s) ds =X ^n{xs t ) ds 2 j n(SìSi) rfs, ^n{s x s) m(s) ds. 



Le prime m di queste, moltiplicate rispettivamente per X,X 2 ,...X m e 

 sommate tutte con la (5), dànno 



e quindi 



)(x) = X m+i j*n(xs m ) ds m j ... Jw(«i s) co(s) 



ds 



)(x)\ < \X\ m +* f\n(xs m )\ ds m f... f| ra(s, s)\ • |«(s)| ds < \ X m ^ 1 k m+1 \S2 , 



