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L'equazione integro-differenziale ad essa correlativa si ottiene nel modo 

 seguente: scriviamo hx in luogo di a, e j in luogo di y, essendo h e k 

 due parametri indipendenti da x\ la (A) diventa 



X^'k'lik — hk n ) ' 



ossia, riducendo a forma intera col moltiplicare per convenienti potenze di 

 h e di k: 



a>(a:\h,k\y ,y' ,...,yn = 0: 



dopo ciò sostituiamo ad h e k due funzioni (f{Xj.i) e 4>(X[t) delle due nuove 

 variabili 2 e fi, permutabili fra di loro, e interpretiamo i prodotti e le 

 potenze di tp , xfj , y , y' , ... , z/ 0) come delle composizioni. L'ultima equazione 

 si muta così in un'equazione integro-differenziale, cioè (per limitarci alla 

 composizione di l a specie): 



(B) ®(x\'g>,y\y,y',...,y™) = 0, 



e se la (A) ammette una soluzione 



y = f(x) 



il cui comportamento nell'intorno dell'origine sia quello indicato dianzi, se 

 ne deduce per la (B) la soluzione 



y(x\X, fi) — ip f(cc(p), 



la quale si costruirà, qualora f(x) non sia olomorfa, mediante funzioni di 

 X e (.1 non più di ordine intero e positivo. 



2. Vi sono però delle equazioni differenziali che apparentemente sfug- 

 gono al principio generale di dare luogo, attraverso alla regola di Volterra, 

 ad un'equazione integro-differenziale correlativa. Tale è, per esempio, l'equa- 

 zione 



(a) SC y'J ry = 0. 



Se difatti scriviamo hx in luogo di x , e ^ in luogo di y, sparisce, dopo 



averla moltiplicata per k, ogni traccia dei parametri h e k . 



Anche fra le equazioni a derivate parziali si trovano facilmente ana- 

 loghi esempi. Così l'equazione 



_a~ò6.ìì_ ~ò6 



~ÒU ~ÒV V~ÒU U ~òV ' 



