con a e b costanti, non si altera quando si sostituisca h x u ad u , h z v a v ,. 



e 



Limitandoci alle equazioni differenziali ordinarie (l"estensione alle equa- 

 zioni alle derivate parziali non presenta difficoltà) comincieremo col carat- 

 terizzare la forma che spetta al primo membro della (A) nell' ipotesi che 

 l'equazione manchi, come accade per la (a), di equazione integro-differen- 

 ziale correlativa. Vedremo poi successivamente come questo difetto non sia. 

 per così dire, che apparente, potendosi dare, con una trasformazione sempli- 

 cissima, alle equazioni in discorso una forma tale da farle rientrare nella 

 regola generale. 



3. La più generale equazione differenziale ordinaria di ordine n si può 

 scrivere nel modo seguente: 



(1) nx,y,y', ... , y<»>) =2-00*0 tf{yy> (/')*'. ... = , 



dove iì\ ...i n sono dei numeri interi, positivi o nulli, e G(x) è una funzione- 

 qualunque di x. Facciamo la sostituzione 



(2) x=h$ , y = l- 

 il termine generale della (1) diventa : 



*]*(*]')*! (v"Y* ••• (^ <n) ) in 



r{S) 



avendo posto: 



p = i\ + 2»s + • — h nì n 

 q = i + ii + i t + • • • -f- in , 



e rappresentando con rf rf' ... derivate rispetto a S. 



Con ciò ogni termine di F riceve intanto un fattore 



1 



diverso, naturalmente, da termine a termine. 



Scriviamo ora la (1) in modo che in un suo termine si abbia C(x) = l 

 dividiamo cioè tutta l'equazione per uno qualunque dei coefficienti C , e 

 indichiamo con P e Q i valori di p e q in quel termine in cui C = 1. In 

 virtù della sostituzione (2) questo termine si altera esattamente pel fattore 



1 



