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Partiamo ora dall' ipotesi che questa sostituzione debba lasciare inva- 

 riata la (1). Ciò significa che in seguito alla sostituzione (2) il primo 

 membro della (1), ossia F, potrà risultare moltiplicato tutt' al più per un 

 fattore indipendente da rf , ... , rj M . Questo fattore dovrà comparire nei sin- 

 goli termini di F, e proverrà, per ciascun termine, in parte dal fattore G(x) 

 ed in parte dall'altro fattore 



Y = y i (!/') h -W n) Y'>- 



Ma poiché vi è un termine, quello in cui p e q hanno i valori P e Q . 

 che viene moltiplicato precisamente per jjjTj2 > ** u ^ * rimanenti termini 

 di F dovranno ricevere questo moltiplicatore; e poiché la parte Y si mol- 

 tiplica per }.pfc q i C0S1 ^ a parte residua G(x) deve ricevere un fattore del 



medesimo tipo. Osservando infine che C è indipendente da y„ ne risulta che 

 dev'essere : 



C(a0 = 4' 



x J 



dove c indica una costante qualunque, mentre j è un numero intero legato 

 a p dalla relazione 



(3) P+/-P. 



Quanto a q è chiaro che dovrà avere il medesimo valore in tutti i termini, 

 cioè : q = Q . 



L'equazione (1) prende dunque la forma 



(4) Z^y i (/) <i ».(y (n) ) <w = o; 



il suo primo membro è un polinomio omogeneo in y , ?/' , ... , y in \ e l'espo- 

 nente j di — si potrà sempre supporre positivo o nullo, e quindi per la 



00 



(3) P indicherà il massimo valore di p . I coefficienti c non vanno soggetti 

 ad alcuna restrizione. 



4. Vogliasi p. es. costruire le equazioni del tipo (4) del 1° ordine. 

 Dovremo pone i t = • • • = i„ = 0, e la (4) si riduce alla seguente: 



(5) + Cì w^ 1 yy'»'* H (- c n -, xy n ~ l y' + c n y n = ; 



essa si scinde in n (od in un numero minore) di equazioni lineari 



x y' = yy » (y costante) 



Rendiconti. 1917, Voi. XXVI, 1° Sem. 40 



