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i cui integrali sono 



(6) y = px~f, (/? cost. arbitraria). 



Un secondo esempio notevole ci viene fornito dalle equazioni lineari 

 d'ordine w, che assumono la forma: 



(7) x n y M -f- dx"-^ 1 "-» H h c n . x xy + c n y = 0. 



È l'equazione di Cauchy, alla quale si soddisfa ponendo 



(8) y=.x«, 



e ricavando a dall'equazione (fondamentale) 



aia — 1) . . . (a — n + 1) -f C x a(a — 1) . .. ;-. (a — n -f- 2) -| 



-j- C„_i a + C„ = . 



Se questa ha le radici tutte distinte, la (7) ammette n integrali distinti 

 della forma (8); se invece ha r radici eguali ad a, accanto all'integrale (8) 

 avremo gli altri 



(8') x* lg x , x* lg 2 ,z a Igr- 1 # . 



Tanto la (6) quanto le (8) e (8'), che forniscono rispettivamente gli 

 integrali della (5) e della (7), contengono delle funzioni alle quali corri- 

 spondono, nella teoria della composizione, delle funzioni o delle operazioni 

 aventi un significato preciso; queste nuove espressioni non si saprebbero 

 tuttavia considerare come soluzioni di equazioni integro-differenziali corre- 

 lative alle equazioni differenziali (5) e (7). 



5. Trasformiamo la (4) col porre: x = fi; Poiché la (4) è omogenea 

 rispetto ad y ,</,.. , y in \ e pel modo come contiene x , il primo membro si 

 riduce al prodotto di e" 1 ^ per un polinomio omogeneo in y .y , ... , y {n) a 

 coefficienti costanti, rappresentando con y' y" ... derivate rispetto a £ . Indi- 

 cando allora con 



<% y'...y™) 



un tale polinomio, l'equazione trasformata si scrive: 



(9) <%/...?/<»>) = 0. 



Ora questa equazione si trova nelle condizioni volute per dare luogo, 

 attraverso alla regola di Volterra, all'equazione integro-differeuzialo correla- 

 tiva. Difatti la sostituzione (2) la muta in un'equazione del medesimo tipo, 



dalla quale si staccherà per conseguenza il fattore ~ (e quindi non rimarrà 



