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traccia del parametro k, non essenziale del resto), mentre in ogni termine 

 comparirà come fattore una certa potenza di h, diversa generalmente da 

 termine a termine. 



In conclusione, all'equazione (4) si può associare un'equazione integro- 

 differenziale correlativa, purché si eseguisca su x e y, invece della sostitu- 

 zione (2), l'altra: 



(10) x = e hc ' , y = i}. 



Nell'equazione trasformata, il cui primo membro sarà un polinomio omo- 

 geno in -q , rf , ... , ij <n) a coefficienti costanti, i vari termini conterranno h a 

 potenze differenti (che si potranno sempre supporre ad esponente positivo o 

 nullo); non resta che porre in luogo di h una qualunque funzione xp di due 

 variabili X e fi, e interpretare i prodotti e le potenze di ip ,rj ,rf , ... , rj ln) 

 come composizioni. 



6. Applicando questo procedimento all'equazione differenziale (7). la 

 sostituzione (10) la trasforma nell'equazione a coefficienti costanti y x y%...\ 



(11) y™ + Yl hy l "- l) H f- y n _, h^y'+ynWy = 0, 



da cui si deduce l'equazione integro-differenziale 



(12) ?/<«> + Y i V'(V) f/*- 1 Wi") + • • ■ 



+ Yn-x V» M_1 (^) + yr. «H V) V) = . 



Agli integrali della (7) del tipo 



(13) y = x* 

 oppure 



(13') y = x !X \g r x 



corrispondono gli integrali della (11) 



y = e 11 ^ , y = h r ^ e h ^ , 



e quindi le soluzioni della (12): 



y(r-M = 1 + ^xp{X{i) + ~ a* f» ^(^) -f • • 



,y( ) = r ^(A,«) + « r - - 1 «A r+1 4- «* £ r+s </^ 2 H — 



Questi sviluppi sono convergenti in tutto il piano, e rappresentano funzioni 

 di X e fi permutabili con xp: s' intende che per il primo sviluppo, che non 

 è nullo per £ = , la composizione dovrà essere definita nel senso speci- 

 ficato a pag. 138 delle Legons sur les fonctions de lignes. 



