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È da segnalare il fatto che, partendo dall'equazione differenziale (7) e 

 da un suo integrale (13) o (lo'), in generale non olomorfo, si perviene, 

 attraverso alla sostituzione (10), ad un'equazione integro-differenziale corre- 

 lativa, le cui soluzioni corrispondenti a quegli integrali sono sempre olomorfe 

 in tutto il piano. 



7. Passando in generale all'equazione differenziale (4), notiamo in primo 

 luogo ch'essa ammette sempre, al pari della (7), degli integrali della forma 



(13) , e sotto certe condizioni, cui debbono soddisfare i suoi coefficienti, am- 

 mette pure degli integrali della forma (13'). Consideriamo più generalmente 

 quegli integrali che presentano, intorno all'origine, lo sviluppo 



(14) y — x°- \g r x (a -f- a x x -J- a 2 x z -f- • • ■) , 



dove a indichi un numero qualunque ed r un intero positivo o nullo. La 

 sostituzione 



x = e h * 



trasforma la (4) in un'equazione 



<J>(y y ... y (n) \ h) = 



in cui la £ non figura esplicitamente, e per la quale lo sviluppo (14) diventa : 



(15) y = h r £ r e h «l(a + a[e^ + a 2 e 2h " -\ ) . 



Ora la serie 



flo.-p «i * + ■ • ■ 



è convergente in un certo cerchio col centro nell'origine ; ne segue che la serie 



(16) «o + tfi^ + as^H 



sarà convergente in tutto un campo infinito limitato da una retta parallela 

 all'asse delle ordinate ed estendentesi nel senso delle ascisse negative. 



La (15) dà quindi, col sostituire agli esponenziali i loro sviluppi in 

 serie di potenze e ad h una funzione il>{l[.i), e interpretando al solito le 

 potenze di ìp come composizioni, una serie convergente in tutto il piano, 

 soluzione dell'equazione integro-differenziale che possiamo ora chiamare cor- 

 relativa della (4). Si potrà sempre dire che questa soluzione è permutabile 

 con la funzione xp(Xf.i): soltanto bisognerà osservare, quando r = 0, che se 

 il campo di convergenza della serie (16) non comprende il punto f = r 

 allora si dovrà assumere la composizione nel senso più ampio come già si 

 specificò nel caso particolare esaminato al n. 6. 



