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Veronese veut établir, quii ny a aucan point de la ligne droite intime, qui 

 puisse correspondre au nombre w de Cantar, c'est à dire que, selon lui, l'appli- 

 cation géometrique des nombres transfinis de Gantor n'est pas possible ('). 

 Mais la différence la plus essentielle des deux théories, c'est le critère de 

 l'égalité des ensembles intìnis, en tant que ces ensembles forment la base 

 des nombres infinis, leurs tj^pes d'ordre. 



D'après Cantor, ce critère consiste dans la correspondance uuivoque (ou 

 biunivoque) des nombres de deux ensembles, tandis que, d'après Veronese, 

 c'est la possession d'éléments qualitativement égaux qui, outre la correspon- 

 dance, determine l'égalité de deux ensembles intìnis ( 8 ). 



La théorie de Fontenelle a le mème point de départ que celle de 

 Cantor. « Pour mieux concevoir l'Infini, je considère la suite naturelle des 

 nombres, dont l'origine est ou 1. Chaque terme croit toujours d'une unité, 

 & je vois que cette augmentation est sans fin, & que quelque grand que 

 soit le nombre où je serai arrivò, je n'en suis pas plus proche de la fin de 

 la suite, ce qui est un caractère qui ne peut convenir à une suite dont le 

 nombre des termes serait fini. Donc la Suite naturelle a un nombre de 

 termes infini (Fontenelle, op. e, p. 29) ( 3 ). Mais tandis que d'après Cantor 



donné ; sans qu'il subsiste entre deux segments quelconques a et l du système l'axiome 

 d'Archimede, c'est à dire l'axiome que si a •< b il y a un nombre entier fini n tei que 

 a . w>> b. 



(!) Comp. Veronese, op. e, § 90, p. 102-106. 



( 2 ) D'après Cantor deux ensembles sont « semblables » (àhnlich), quand on peut 

 établir une correspondance univoque de leurs éléments d'après leur ordre (1. e. Bd. 46, 

 p. 497 s.). « Égaux ou équivalents » (aequivalent) sont des ensembles, quand on peut 

 établir une correspondance univoque de leurs éléments (ib., p. 482). 



Quand on veut établir l'égalité de deux ensembles infinis, il ne suffit pas, d'après 

 Veronese, qu'il y ait une correspondance univoque entre leurs éléments, il faut qu'il y 

 ait en outre identité qualitative de ces éléments. Veronese attribue aux éléments des 

 ensembles trois propriétés différentes: 1. la position, 2. la qualité et 3. l'ordre (op. e, 

 Def. I, § 38, p. 15). La qualité des éléments servant de base à la différence entre le tout 

 et la partie (Def. II, § 27, p. 9), le nombre ordinai est défini alors par Veronese comme 

 type d'ordre d'un ensemble ordonné, où l'on a fait uniquement abstraction de la position 

 des- éléments, la relation de partie et du tout et la relation de l'ordre étant conservées 

 (op. c, Def. IT, § 45, p. 26). Fait-on abstraction de la relation de partie et du tout, on 

 a le nombre ordinai de Cantor, et si l'on va enfin jusqu'à faire abstraction aussi de 

 l'ordre, on parvient au nombre cardinal de Cantor. Veronese ne conteste donc point la 

 yaleur logique des nombres de Cantor, il les tient seulement pour des notions purement 

 arithmétiques incapables d'étre appliqués à la ligne droite (comp. aussi son article In- 

 torno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infinitesimi attuali, Matli. Annalen, 

 Bd. 47. p. 426 f.). 



( 3 ) Que Fontenelle ait clairement concu le nombre w, cela est confirmé encore 

 mieux par les mots suivants, qui, dans son texte, viennent immédiatement après les mots 

 cités dans le nòtre: 



« En vain dirait-on que le nombre des termes qui la compose est toujours actuellement 



