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Cornine od le voit, autant par son point de départ que par la manière 

 d'après laquelle sont deduits les nombres intìnis supérieurs, la théorie de 

 Fontenelle se rapproche sensiblement de celle de M. Cantor. Mais les res- 

 semblanees aree la théorie de M. Veronese ne sont pas moins grandes. En 

 mettant le nombre co dans la serie des nombres naturels comme son dernier 

 terme, Fonteuelle admet la divisibilité de son nombre oo en parties égaux, 



00 



c'est à dire les nombres infinis de la forme — (M, comme Veronese admet 



n 



de tels nombres d'après la détìnition méme de son nombre oo . Mais tandis 

 que Veronese admet, d'après son principe d'égalité des ensembles infinis, 

 des nombres de la forme oo — n et co -j- n, Fontenelle, comme nous l'avons 

 déjà vii, n'admet point de tels nombres. La différence est encore plus grande 

 quant à la production des nombres infinis des ordres supérieurs. Tandis que 

 d'après Fontenelle. comme nous l'avons vu, ces nombres sont produits d'après 

 un principe analogue au deuxième principe de Cantor. Veronese deduit ces 

 nombres en appliquant le principe, qui lui permet d'obtenir son nombre 

 intìni de premier ordre, un nombre fini (les infinis d'ordre fini), ou un nombre 

 infini de fois (les infinis d'ordre infini) ( 2 ). 



Mais les deux théories ont de commun, par opposition à celle de 

 Cantor ( 3 ), la supposition de nombres infìniment petits, quoique la manière 

 de déduire ces nombres soit bien differente chez eux deux. Fontenelle en 



déduit la necessité, en partant de la suite des fractious — , ^ , ~ etc. qui 



deur, est susceptible d'augmentation, pourvu que les graudeurs que l'ori concevra l'aug- 

 menter soient grandeurs par rapport à lui, c'est à dive infiuies. Ainsi l'on peut concevoir 

 cette nouvelle suite oo , 2 oo , 3 oo , &c qui sera une progression arithmétique, dont la dif- 

 férence sera oo , & comme la différence de 1 à co ou oc — 1 est = oo , cette progression 

 pourra commencer par 1, & on aura -f- 1 oo , 2 oo , 3 oo , &c. 



« Puisque dans cette nouvelle progression les coSfficients de oo croissent toujours 

 selon la suite des nombres naturelles, elle se terminerà enfili par co X oo = oc 2 » (op. e, 

 p. 33). 



Èn élevant la progression 1 , oo , oo a , oo 3 , ... oo OT au carré, cube. etc. oo , on arrive 

 d'après Fontenelle (p. 40) à la progression: l 00 , co 01 , oo 2o ° , oo 3o ° , ... oo 002 , et en appli- 

 quant le méme procedé à cette progression. à la progression dont le dernier terme 

 sera oo " 3 . 



« Il est visible. que ces élévation n'ont point du fin, qu'on irait jusqu'à une pro- 

 gression dont le dernier terme serait oo 00 00 , & que là méme on recommencerait encore 

 à faire des élévations sans fin » (op. e, p. 40). 



(') La divisibilité de oo par «, nombre fini, est déduite par Fontenelle de la pro- 

 priété générale d'une grandeur d'étre divisible. (Comp. op. e, § 93, p. 32 et § 133, p. 41). 



O Veronese, op. e, Def. II, § 86, p. 97 et hyp. V, p. 106. 



(°) Cantor s'est déclaré expressement contre la possibilité des nombres infìniment 

 petits. Conip. son article cité dans Zeitsclirift fiir Philosophie, voi. 91, p. 112 s. 



