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doit d'après lui se terminer par un — , Finfiniment petit de premier ordre ('). 



Les intìniments petits des ordres supérieurs se déduisènt par divisions suc- 



cessives de ^~ par oo , de — par oo etc. ( 2 ). Veronese y arrivo en sup- 



posant que, un segment tini pouvant devenir indétiniment petit, il y aura 

 un point hors du champs de cette variabilità de telle sorte, que ce point- 

 limite delimiterà avec le point initial un segment infiniment petit, par rap- 

 port auquel le segment donne fini sera un infìni de premier ordre ( 3 ). De 

 la mème manière, on peut supposer un infiniment petit de second ordre 

 dans Finfiniment petit de premier ordre, et ainsi de suite ( 4 ). 



Mais le point de ressemblance le plus important entre les deux théories 

 se trouve dans la complète applicabilité, reconnues par eux, de nombres in- 

 finiment grands et infiuiment petits à la ligne droite ( 5 ). 



( 1 ) " 1 étant pris putir représenter en général la grandeur finie, plus le nombre par 

 lequel je le divise est grand, plus je le diminue, de sorte que -^r , — , — , &c sont 



a o 4 



des grandeurs toujuurs décroissantes. Donc à la fin ~ sera une grandeur infiniment pe- 

 tite, cu, ce qui est la mème chose, .... une partie infinitième du Fini, corame 1 est 

 une partie infinitième de oo » (Fontenelle, op. c., p. 116). 



Que cette déduction de l'infinimeat petit soit tout à fait erronée, on peut l'entrevoir 

 aisément. Le notnbse io est posé par la réalisation de tous les nombres finis, parce qu'il 



représente le type d'ordre de cet ensemble. Mais le nombre — n'est ])oiut posé par 



la réalisation de tous les fractions finies \ , \- ne se trouvant par dé- 



2 3 n o 



fiuition panni les membres de cette sèrie, et n'e'tant point posé immédiatement par sa 



réalisation, comme l'est le nombre io par la réalisation de la sèrie 1 ,2.3,...» 



Cantor a donc eut raison de n'admettre pas d'infiniment petits dans sa théorie; et la 

 déduction de l'infiuiment petit par Veronese est la seule qu'on puisse regarder comme 

 rationelle (et foimeìlement admissible). 



( 3 ) u Donc — peut étre encore infiniment divisé, ce qui donnera — - , partie infini- 

 00 r a oo a 



tième de — ... : et comme cela n'a point de fin, on aura 1 ■ — - • — — • — -• • kc 



00 * co oc- oo 3 oo 4 



— -3-, c'est-à-dire, autant d'ordres de Infiuiments petits qui s'abaisseront au dessous 



00 



de 1, que l'on a vu d'ordres d'Infinis qui s'élevaient à l' infini au dessus de 1 » (Fon- 

 tenelle, op. e, p. 117). 



( 3 ) Comp. Veronese, op. e, Ip. VI, p. 128, prop. a § 96, p. 129, prop. § 97, p. 131. 



( 4 ) Veronese, op. e, Ip. VII, p. 147 et prop. e, § 100, p. 148. 



Mr. Levi-Civita, qui a faite une exposition purement analytique des nombres infinis 

 et infiuiments petits de Mr. Veronese (Atti R. Istituto Veneto, 1892: Infiniti e Infinite- 

 simi attuali) en confirmant ainsi la validité mathématique de la théorie, a donnée une 

 importante extension de cette théorie par l'introdnction des infinis et infiniment petits 

 d'ordres rationnels quelconques. 



( 5 ) Fontenelle, op. e, p. 245 : « Il n'y a point de nombre qui ne puisse exprimer 



Rendiconti. 1917, Voi. XXVI, 1° Sem. 41 



