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A cette comparaison des trois théories de nombres infinis, je venx ajouter 

 encore quelques remarques critiques touchant la valeur de la tliéorie de 

 Fontenelle. 



Comme nous l'avons vu, le nombre co de Fontenelle veut ètre et le 

 type d'ordre d'ensemble arithmétique des nombres finis sans dernier terme 

 et te type d'ordre des segments finis égaux d'une ligne droite infinie avec 

 un point à Fintini, c'est qui est contradictoire. 



Mais nous ne devons pas nous étonner de cette confusion des points de 

 vue arithmétique et géométrique dans la conception principale de la théorie 

 de Fontenelle: cette théorie appartient à l'àge d'élaboration du calcul infi- 

 nitésimal, qui dans son développement initial s'inspirait aussi bien de motifs 

 arithmétiques que de motifs géométriques. 



C'est par cette confusion de motifs arithmétiques et géométriques qu'on 

 peut expliquer aussi les autres contradictious, qut se trouvent dans la théorie 

 de Fontenelle. La contradiction formelle du nombre co , deruier terme de la 

 suite naturelle des nombres, a pour conséquence immediate une autre con- 

 tradiction : si co est le dernier terme de la suite naturelle des nombres, il 

 dévrait étre précède immédiatement par un nombre fini. Fontenelle s'apercoit 

 de cette contradiction, mais il cherche à l'éviter en supposant, que co est 

 divisible par n, n étant un nombre fini quelconque (op. e, p. 59). Mais 

 en poursuivant la recherei) e des propriétés de la suite A (par A Fontenelle 

 désigne la suite des nombres naturels avec son dernier terme co), Fontenelle 

 tombe dans la méme contradiction, qu'il a voulu et su eviter. En comparant 

 les deus suites : 



1,2,3,4 co 



1,4,9, 16,.... co 2 , 



la deuxième représentant l'élévation au carré de la première, et en les re- 

 présentant par des lignes droites supposées infinies, Fontenelle, sans motiver 



quelque Ligne droite, ni réciproquement de Ligne droite qui ne puisse étre exprimée par 

 quelque nombre... Donc à tous les nombres infiniment grands on petits répondent des 

 lignes pessibles infiniment grands ou petits ". 



Chez Veronese l'applicabilité des nombres infinis et infinitésimaux résulte immédia- 

 tement de l'origine méme de ces nombres (comp. op. c., prefazione, p. XXV-XXVI). 



Cantor s'est .occupò très peu de la question de cette applicabilità. Nous trouvons 

 seulement un passage dans ses écrits, où il touclie cette questi<>n, en attribuant à la 

 ligne droite un point à l'infini correspondant à son nombre a» (comp. son article cité dans 

 Zeitscbrift fiir Philosopbie, voi. 91, p. 103 s ). Sur l'impossibilitò formelle de cette appli- 

 cation géométrique des nombres cantoriens comp. mon opuscule Die typischen G eometrien 

 and da» Unendliche, Heidelberg. 1907, p. 31-48. 



