- 342 - 



Ciò premesso, chiamo complesso lineare di regoli un insieme algebrico 

 di regoli, tale che in un fascio generico di regoli ve ne sia uno solo. Gn 

 tale insieme abbraccerà oo s regoli. 



1 complessi lineari di regoli sono co 19 . 



3. Dato un complesso lineare di regoli, se di ogni suo regolo si prende 

 il regolo incidente, si otterranno i regoli di un altro complesso lineare. 



La coincidenza di un complesso lineare di regoli con quello che in tal 

 modo gli è associato, avviene solo nei due casi particolari seguenti. 



Si rissi una quadrica y> da considerarsi come inviluppo, od una / da 

 riguardar come luogo. Le oo 8 quadriche-luoghi armoniche a y> , o le oo 8 

 quadriche-inviluppi armoniche a /', costituiscono un sistema lineare; sicché 

 in un fascio schiera ve n'è in generale una sola. Ne segue che i regoli gia- 

 centi nelle quadriche dell'uno, oppure dell'altro sistema lineare, formano, 

 secondo la definizione del n. 2, un complesso lineare. 



Così le due specie diverse di sistemi lineari oo 8 di quadriche, prove- 

 nienti dal considerar le quadriche come superfìcie di 2° ordine, o come in- 

 viluppi di 2* classe, vengono subordinate ad un unico concetto, molto più 

 ampio: quello di complessi lineari di regoli. 



Sono solo oo 9 . sì nell' una che nell'altra specie, questi particolari com- 

 plessi, provenienti da sistemi lineari di quadriche. 



4. Un altro esempio speciale di complessi lineari di regoli, dipendenti 

 ancora da sole 9 costanti, si ha nell'insieme di tutti i regoli, ognun dei 

 quali è in uno stesso complesso lineare di rette con un regolo fisso (nucleo). 



5. Consideriamo un complesso lineare generale di regoli, F. Ad esso 

 si connettono strettamente (son forme invariantive) due quadriche f,<p. 



La quadrica f è il luogo dei centri di quelle stelle che, riguardate 

 come regoli (n. 1), fan parte di r. Dualmente g> è l'inviluppo dei piani 

 sostegni dei sistemi piani rigati che, come regoli, stanno in r. 



Si posson anche definire f e y in quest'altro modo. Le quadriche di 

 cui ambi i regoli stanno in T sono precisamente quelle oo 7 che. come luoghi, 

 sono armoniche ad una quadrica-inviluppo fissa q> , e come inviluppi sono 

 armoniche ad una quadrica-luogo fissa /. 



In altre parole, il dato complesso r (insieme col suo associato nel senso 

 del principio del n. 3) appartiene sempre ad un fascio di complessi deter- 

 minato da due complessi lineari armonici rispettivamente ad una quadrica- 

 luogo e ad una quadrica-inviluppo (complessi particolari del n. 3). 



Dirò f e -<p gli appoggi di r. 



6. Sono pure determinati da r due regoli « , /? , che chiamerò invece 

 i cardini di r. 



In una congruenza lineare di rette stanno oo 3 regoli; e se la congruenza 

 è generica, solo oo* di questi sono in F. Ma esistono infinite congruenze 

 lineari, che possiam chiamare totali per .T, nel senso che ogni loro regolo 



