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appartiene a Z\ Queste congruenze si hanno da due determinati regoli a , /? , 

 così: son le congruenze lineari di rette, ognuna delle quali contiene due rette 

 di a e due rette di /?. 



Si giunge anche ad a , (3 colla seguente proposizione. Il complesso dato 

 r sta sempre in un fascio con due complessi della specie particolare defi- 

 nita al n 4. I nuclei di questi due complessi saranno appunto a e /S. 



Indicherò con A , B le due quadriche (che suppongo non singolari) su 

 cui stanno i regoli a,/?. 



7. I regoli a , /? , e quindi anche le quadriche A , B , sono strettamente 

 legati alle f , <p . 



La f sta in un fascio di quadriche con A , B ; e così <jp sta nella schiera 

 di quadriche determinata da A e B. 



Per determinare il complesso r si posson prendere ad arbitrio i due 

 regoli cardini a , § ; e poi anche, entro al fascio AB , la quadrica d'ap- 

 poggio (luogo) f, oppure, entro la schiera AB, la quadrica d'appoggio (in- 

 viluppo) (f . Con ciò r risulta individuato. 



Si ha dunque, fra le quadriche del fascio e della schiera che son de- 

 terminati dalle quadriche A , B di due dati regoli a , /§ , una corrispondenza 

 biunivoca. Dette / e y due quadriche omologhe, rispettivamente del fascio 

 e della schiera, il loro legame (con a , /?) si può esprimere così: per ogni 

 coppia di rette incidenti di a e /? , quella retta del loro fascio che è tan- 

 gente ad f è pure tangente a y> . 



8. Un'altra maniera di presentare la corrispondenza tra le f e le y> 

 (di cui l' ultima proposizione può riguardarsi come un corollario) deriva dalla 

 considerazione di quelle congruenze di rette, totali (n. 6) per r, che sono 

 speciali. 



Le direttrici di tali congruenze sono le oo 3 rette di un complesso qua- 

 dratico T di Battaglini. Se p è una di esse, la congruenza lineare speciale 

 di cui è direttrice stabilisce fra i punti e i piani di p una corrispondenza 

 proiettiva, che fa corrispondere ai quattro punti d' incontro di p con rette 

 di a , p i quattro piani che congiungon p rispettivamente alle stesse rette ('). 

 Orbene, in questa stessa proiettività ai punti d' incontro di p con f rispon- 

 dono i piani tacenti a q> passanti per p . 



Così, serper un punto qualunque P si tirano le oo 1 rette del complesso 

 quadratico T definito dall' incidenza sui due dati regoli a , p ; e per ciascuna 

 p di quelle oo 1 rette si costruisce il piano tv, che corrisponde a P nella 

 proiettività che è data tra punti e piani di p ; gli oo 1 piani ti saranno tutti 



(') La proiettività così richiesta fra 4 punti e 4 piani di p è una condizione che 

 può servire per definire il complesso T di Battaglini. Veggasi su questa definizione (per 

 incidenza su due regoli) una mia Nota: Sui complessi quadratici di rette del Batta' 

 glini, Rendic. Circ. mat. di Palermo, t. 42 (1917). 



