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L' invariante lineare del sistema doppio G** 



(9) O-J^^Gft 







si dirà curvatura media del nostro ds 2 



Ciò posto, le equazioni gravitazionali di Einstein sono: 



(10) <?«— i — i»T», 



dove x dipende dalla costante f di attrazione universale e da c a norma 

 della formula 



00 



Osservo incidentalmente che si può verificare l'omogeneità dei due membri 

 delle (10), immaginando di riferirsi a parametri x , x t , x t , x 3 tutti omo- 

 genei tra loro, per es. lunghezze, come sono (pei ds* euclidei) le y definite 

 dalle posizioni (4). I coefficienti g ik sono allora dei puri numeri, e i primi 

 membri hanno manifestamente le dimensioni l~ 2 . D'altra parte tutti i T tfc 

 (sforzi specifici a meno di fattori numerici, ecc.) hanno in questo caso le 

 stesse dimensioni, e precisamente ml~ x t~ 2 . Si ha poi 



sicché anche ai secondi membri spettano effettivamente le dimensioni l~ 2 . 



7. Giustificazione formale desunta dalle identità di Bianchi. — 

 Le derivate covarianti dei simboli di Riemann sono legate da relazioni no- 

 tevolissime dovute al Bianchi ( 2 ), che si possono compendiare nella formula 



QijMi + ffjlMi + 9UMj = {i , j , h , Jc , l — , 1 , 2 , 3) , 



ovvero, per ben note proprietà dei simboli di Riemann, nella formula equi- 

 valente 



ffijMl ~f~ 9'lMj — f/ljMi = . 



Moltiplichiamo per \ g iw g ljh) e sommiamo rispetto a k,l,j ,h, avendo 

 cura di scambiare nel secondo termine (a somma eseguita) j con l e h con k. 

 Questo secondo termine diviene così identico al primo, e risulta 



tnjk 9 0H) 9 ijh) ffiJMi — 1 1 9 m 9 (jM QijMi = (» = , 1 , 2 , 3). 



D'altra parte la derivazione covariante delle (8) ricordando il lemma 



( l ) Tale designazione è ovviamente desunta dal significato geometrico che spette- 

 rebbe a G , qualora si trattasse di un ds s definito positivo. 

 (') Cfr. loc. cit,, pag. 351. 



