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Les solutions de ce problèine sont très remarquables, car elles permettent 

 d'obtenir seulement avec les premières parties du Tableau 1 et du Tableau 

 — 1 , la composition de beaucoup de nombres dont les caractéristiques ont 

 été obtenues par la méthode (d° 3). 



Ces solutions pourront servir tant que l'on ne possederà que ces pre- 

 mières parties. 



Les solutions du 1° et du 2° de ce problème se trouvant dans les 

 « Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences » (t. 162, 6 mars 

 1916; t. 164, 19 iriars 1917), ce travail contient seulement la solution du 3°. 



5. Solution du 3° (n° 4). — Soient deux nombres (« ; 1) et (s e ; — 1) 

 appartenant respectivement au Tableau 1 et au Tableau — 1. 



Le produit de ces deux nombres est dans le Tableau — 1 et il a pour 

 caractéristique 



(7) Ks€ e = Bee e — € + e e . 



Supposons que le produit ee e soit < B . 



X e désignant une caractéristique < B 2 d'un nombre du Tableau — 1 , 

 soient q le quotient par défaut <B et f le reste obtenus en divisant K e 

 par B. On a 



(8) Xe =Bq + r. 



Deux cas se présentent pour le second membre de l'égalité (7), savoir: 

 — * + f e > et — «-)-£<. <<0. 



ft. Premier cas de la solution du 3° (n° 4). — Dans le second 

 membre de l'égalité (7), le terme ( — e -f- s e ) est positi!'. 



Identirìant les égalités (7) et (8), on obtient les deux équations 



(9) £€ e ■= q , e e — s = r . 



Les valeurs des inconnues t et e e résultent d'une équation du second 

 degré; comrae elles doivent etre entières et positives, il faut que le discri- 

 minant soit un carré entier positif. 



Sans résoudre l'équation du second degré, on trouve ainsi les valeurs 

 de s e et de e . 11 est facile de décomposer, de toutes les manières possibles, 

 q en groupes de deux facteurs entiers positifs. Si la différence de deux 

 facteurs d'un groupe est égal à r, ces deux facteurs sont les valeurs de e e 

 et de e. Le facteur s se prend dans le Tableau 1 et le facteur e e se prend 

 dans le Tableau — 1 . 



7. Exemple. — Soit 



N = 624 677 381 

 = 20801 ; 23351 

 = 20802 ; — 6679 



