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la 'determinazione dei punti successivi all'origine, colle loro molteplicità, 

 dipende dall'algoritmo per la ricerca del massimo comun divisore fra i nu- 

 meri v . v' , v" , ... ; si procede qui a determinare il massimo comun divi- 

 sore dei primi due numeri, tenendo conto dei quozienti e dei resti succes- 

 sivi, poi si applica lo stesso procedimento nel confronto del m. c. d. (vv') e 

 di v" . e così di seguito: è ovvio che, così facendo, apparisce la particolare 

 importanza di certi (termini e) numeri caratteristici che non riescono mul- 

 tipli del massimo comun divisore dei numeri precedenti; ai quali (termini e) 

 numeri si riferiscono appunto le teorie di Halphen e di Noether ('). 



Ora si consideri un ramo di curva gobba C, nell'intorno dell'origine; 

 sia v l'ordine del ramo, cioè la molteplicità dell'origine 0, e sieno v -f- fi 

 e v -J- fi -}- A le intersezioni del ramo colla tangente e col piano osculatore, 

 sicché fi e l designeranno i caratteri cui Halphen ha dato il nome di 

 « rango » e di « classe », la « prima e seconda classe » come anche pos- 

 sono chiamarsi, per non introdur nomi nuovi rispetto alla teoria delle curve 

 piane. 



Orientando opportunamente gli assi coordinati, il nostro ramo si potrà 

 rappresentare, nella forma normale di Halphen, scrivendo: 



i punti (semplici e multipli) del ramo successivi all'origine dipenderanno, 

 in generale, dai termini successivi che compariscono negli sviluppi prece- 

 denti; in particolare vi è un gruppo di punti dipendenti dai primi termini 

 degli sviluppi di y e g, e dai numeri y , r -\- fi , v -j- fi -j- X ; la determi- 

 nazione di codesti punti e delle loro molteplicità costituisce il passo ele- 

 mentare nel problema che ci occupa, e la soluzione più generale di questo 

 si lascia ricondurre a quel passo. 



Orbene, per estendere l'analisi delle singolarità delle curve piane, oc- 

 corre anzitutto estendere convenientemente la nazione aritmetica dell'algo- 

 ritmo per la ricerca del massimo comun divisore fra due numeri (interi e 

 positivi): qui occorre considerare una terna in luogo di una coppia di nu- 

 meri, e in questa terna non si deve distinguere alcun ordine dei tre numeri. 



La definizione dell'algoritmo più generale che abbiamo in vista viene 

 porta senz'altro quando si tenga presente il procedimento euclideo, ove in 

 luogo di divisioni successive si parli di sottrazioni successive: è chiaro che 

 dati tre numeri a , /S , y , si potrà procedere alla ricerca del massimo comun 



(1) 



(') Cfr. in ispecie la Nota di questi nei Rendic. del Circolo Matematico di Palermo, 

 T. IX, P ag. 89 (1890). 



