divisore di essi sottraendo il minore dei detti numeri dagli altri due, e così 

 operando di seguito. Il procedimento ha un termine naturale quando si 

 giunge a tre resti ugnali, che porgono allora il massimo comun divisore 

 della terna. Ma pei nostri fini occorre arrestarsi innanzi, quando si trovino 

 due resti uguali minori del terzo numero e perciò non possa più proseguirsi 

 l'operazione senza che nasca ambiguità sulla scelta del numero da sottrarre 

 (scelta fra due uguali che è indifferente per la questione aritmetica, ma non 

 per la nostra questione geometrica). 



Il procedimento sopra definito, che possiamo denominare pr 'o ce dimento 

 ternario per la ricerca del massimo comun divisore, applicato ai tre nu- 

 meri v , v -\- f.i , v -f- -{- X , permette di definire un gruppo di punti suc- 

 cessivi del ramo, in dipendenza dai primi termini delle serie, ed anche di 

 calcolarne le molteplicità. I punti così definiti appaiono strettamente deter- 

 minati dall'origine del ramo, 0, dalla sua tangente e dal piano osculatore ; 

 perciò essi potranno ritenersi come satelliti del primo punto successivo ad 

 che si trovi su codesto piano, fuori della detta tangente. Nel caso /.i < v 

 (che può assumersi come caso elementare tipico) i punti nominati figurano 

 come satelliti del terzo punto 2 che s' incontra sul nostro ramo. 



Ora, dovendo esaminare le circostanze a cui dà luogo l'arresto del nostro 

 procedimento, supporremo — per semplicità di discorso — che manchi la 

 unicità del minimo fra i tre numeri v — ,« , X che si ottengono con 

 due sottrazioni successive del minimo a partire dalla terna v , v -[- \x , 

 r -\- [x X. Anzitutto se quei tre numeri sono uguali fra loro, si riconosce 

 che il punto 3 successivo ad 2 sul nostro ramo (1) riesce un punto li- 

 bero, dipendente da due parametri: cioè dai coefficienti a e b. 



Infatti si eseguiscano sul ramo (1) due trasformazioni quadratiche suc- 

 cessive prendendo la prima volta e la seconda (il trasformato di) Oj come 

 punti fondamentali isolati; in tal guisa il ramo (1) si trasforma in un altro 

 avente come origine il punto (trasformato di) 2 , e per questo ramo si trova 

 appunto che la tangente nell'origine dipende dai due parametri-coordinate 

 a e b . Per il calcolo effettivo si può servirsi della particolare trasformazione 

 quadratica che consiste nel lasciar fermo x e cambiare y e s in y/x e s/x ; 

 si trova come ramo trasformato di (1) di origine 2 : 



(3) 



onde, se v — n = {.i = X , la tangente di codesto ramo è la retta 



a 2 x — y = , bx — 2 = 0, 

 che dipende appunto da entrambi i parametri a e b. 



