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dove 



u„(t) = f Ò K n (t ,r) u(r) dr ; u (t) = u(t) : 



a 



e per la [2], nel caso che il nucleo sia simmetrico, da (') 



G?Ht) 



[4] h(t) = J 



Disgraziatamente però, tanto per la [3] che per la [4], ben di rado 

 sono soddisfatte le condizioni di convergenza e di integrabilità, termine a 

 termine, senza le quali le suddette espressioni non possono rappresentare 

 una soluzione effettiva; si è così quasi sempre costretti a rinunciare ai van- 

 taggi derivanti dalla loro semplicità. 



Mi sono perciò proposto di vedere se sia possibile di utilizzare le [3] 

 e [4] per la risoluzione delle [13 e [2] rispettivamente, nel caso in cui 

 esse non siano convergenti; ed ho trovato che, se esse sono sommabili, nel 

 senso dato a tale vocabolo dal Borei ( 2 ), esse rappresentano una soluzione del- 

 l'equazione proposta. Oggetto della presente Nota è appunto quello di esporre 

 questo risultato, il quale parrai presentare qualche interesse. 



2. Diremo che una serie di funzioni v n (s) (n = , 1 , 2 , ...), continue 

 in un intervallo finito (ab), è sommabile in esso se 

 1°) la serie 



S (s , x) = \ <r n (s) — ( a n (s) = v (s) + vi (s) -| \- v n (s) ) 



n=0 



è convergente per ogni x = finito e per ogni valore di s in (ab) ; 



2°) l'espressione e~ 0C S(s , x) tende, per x — >oo, ad un limite S(s), 

 determinato e finito. 



00 



Il limite S(s) , quando esiste, sarà la somma della serie data V v n (s) . 



n = 



Ricorderemo il seguente teorema di Hardy ( 3 ) di cui faremo uso : 



Se f(x) è una funzione continua assieme alla sua derivata prima 

 f'(x) per x = 0, e se l'integrale improprio 



[«] /"W'w 



dx 



(') Vergerlo, loc. cit.. cap. Ili, § 1, pag. 22. 



( s ) Legons sur les séries divergentes, cap. III. Paris. Gauthier-Villars, 1901. 

 ( 8 ) Quaterly Journal of Mathematics, voi. 35, 1903. 



